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rrainbow [820404] · MS 2018 · 쪽지

2022-06-14 20:49:53
조회수 1,268

6모 15번 필요충분에 대하여

게시글 주소: https://orbi.kr/00057140110

옆동네에 쓴 글인데 여기에도 올립니다.

이 문제에 대하여, 다음 풀이가 있습니다.


a22는 어찌 됐든, a1에 [1/(k+1)을 n번 더하고,] [1/k을 (21-n)번 뺀] 수일 것이다.

따라서 a1=0, a22=0이기 위해서는

n/(k+1) - (21-n)/k = 0   ⇔   k=(21-n)/(2n-21)

n이 자연수이므로, 가능한 k는 1, 3, 10이 있다.


―


이때 다음과 같은 질문을 받았습니다.


위 풀이는 'a22=0일 때 가능한 k의 값'을 구한 것인데,

문제에서 요구하는 건 "a22=0이 되는 k의 해집합이 무엇인가?"이다.

즉 "k=□일 때 a22=0이다"의 명제에서, 위 풀이는 필요조건만을 보인 것이지만 문제에서 요구하는 바는 필요충분조건이다.

그렇다면 k=1, 3, 10일 때 실제로 a22=0이 성립하는지(actually holds) 계산해 보아야 하는 것이 아니냐?


중요한 질문이라, 카페에도 공유하면 좋겠다 싶어 오랜만에 글을 올립니다.

심지어 질문자 분께서 말하시길, 많은 해설강의에서 이 부분을 생략하고 넘어간다고 하더군요.


―


일단은 질문자 분께서 생각하신 바가 맞습니다. actually holds 부분을 점검해야 하는 것이 맞습니다.

하지만 계산은 할 필요 없습니다.


우선 증명이 아닌 설명을 해 보겠습니다.

수열 {an}의 점화식에 따르면, 음수이면 더하고, 양수이면 뺍니다.

그러니까, 0을 향하는 경향성이 있다는 말입니다.

또한 이미 첫째항이 a1=0인데, 이는 그 경향성이 매우 안정돼 있다는 말입니다.

만약에 a22=0인 경우의 수가 있다면(n회 더하고, (21-n)회 뺐을 때 0이 되는, 그러한 자연수 n이 존재한다면)

그것이 수열 {an}이 바라는 바이고, 실제로 정확히 n회 더하고 (21-n)회 빼게 될 것입니다.


다음으로 설명이 아닌 증명을 해 보겠습니다.

a1에서 [1/(k+1)을 n번 더하고,] [1/k을 (21-n)번 뺀] 수가 0과 같다고 합시다.

그런데 만일, 실제로 점화식에 따라 a22를 계산해 봤더니 1/(k+1)을 n번이 아닌 수만큼 더했다면?


(1) 1/(k+1)을 n보다 많이 더했다면

a22는 최소 [1/k + 1/(k+1)]일 것입니다.

그렇다면 a21은 어떨까요? a21이 음수일 수는 없겠죠. 더해 봤자 1/(k+1)인데, [1/k + 1/(k+1)]은 너무 큽니다.

따라서 a21은 양수였을 것입니다. a22는 a21에서 1/k을 뺀 수이니, a21이 a22보다 더 크겠죠.

a20은요? a21보다도 더 크겠죠. a1은 a2보다 크고, a3보다 크고, ... 태초에 a1은 아주 큰 양수였던 겁니다.

그런데 조건에 따르면 a1=0이죠. 모순입니다.


(2) 1/(k+1)을 n보다 적게 더했다면

마찬가지로 태초에 a1은 아주 작은 음수였어야 합니다. 모순입니다.


만일 문제가 "a22=1/8이 되도록 하는 모든 자연수 k의 값의 합은?" 따위였거나, 혹은 a1=0이 아니었다면, 충분조건을 쉽게 답할 수 없었을 것입니다.

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rrainbow [820404]

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