랩실의노예 [993446] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2022-05-19 23:07:05
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칼럼) 수능 역사상 가장 어려운 문제인 171130, 현실적으로는 어떻게 풀까?

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벌써 먼 옛날 얘기이긴 하지만 준킬러의 시대가 들어닥친 요즘 수능 수학이랑은 다르게

4-5년 전의 수능 수학은 킬러문제, 즉 21 29 30번 세 문제만으로 상위권을 변별했습니다.

특히 그렇기에 이 세문제의 난이도가 매우 높았고 30번이 극악이었죠.

그렇기에 수능 역사상 난이도가 가장 높은 문제를 논한다면 수학 가형 171130, 181130 은 빠지지 않고 탑 3안에 들어갑니다.

여기서는 171130에 대해서 얘기를 해보도록 하겠습니다.


이 문제는 사실 여러분들이 기출을 공부하면서 많이 접해보았을 겁니다.

문제자체가 너무 많이 꼬여있어서 야매로 답을 도출해내는게 이득인 181130이랑은 다르게

문항 자체의 퀄리티도 매우 높기 때문이죠.


우리는 이 문제를 풀 때에 주로 기울기 함수를 사용한다고 들었을 것입니다.

하지만 기울기 함수가 익숙한 요즘이랑은 다르게 저 시절엔 기울기 함수라는 개념이 매우 생소했기에

이 문제의 정답률을 매우 낮았죠.


그래서 저때엔 현장에서 기울기 함수를 떠올리기가 매우 힘들기에

기울기 함수를 모른다면 어떻게 풀어야 할까를 고민해 본 결과 기울기 함수를 사용하지 않은 풀이법을 개발했습니다.


우선 이런식으로 f(x)를 분수함수로 나타내어 보도록 하죠. 이젠 이 친구를 미분해 줍시다.


이렇게 되네요. 여기서 이 f'(x)를 관찰해 보도록 하죠. 분모는 항상 0보다 크기 때문에 분자만 잘 관찰한다면

f(x)의 증감을 파악할 수 있을 거라고 생각해 볼 수 있습니다.


그런데 분모는 4차함수네요. 분자의 4차함수를 잘 분석하면 될 것이겠군요. 일단 분자의 4차함수를 분석하기에

지금은 너무 정보가 부족하기에 일단 이정도까지만 파악하고 g(x)에 대한 정보를 도출해 보도록 하죠.


(나)의 조건에 따라서 

이라는 관계식이 도출될 것이고 이를 앞서 구했던 f(x)와 f'(x)에 대입한다면


이것과


이것이 나오네요. 얘네들을 연립만 잘 해준다면

이 됩니다. 자세한 계산과정은 생략하도록 하겠습니다.

그리고 이 관계식을 다시 에다가 대입을

한 다음 정리해 보도록 하겠습니다. 그러면 아래와 같은 식이 나옵니다.


이렇게 될 것입니다. 이 식을 잘 관찰해본다면 매우 흥미로운 사실이 얻어지게 됩니다.

(alpha, g(alpha))와 (beta, g(beta))는 모두 직선 y=M(x-a)를 지나게 된다는 것입니다.


또한 이 점들에서의 g(x)의 기울기가 M이기 때문에 이 직선이 결국 이 두 점의 접선이 될 것입니다.

이젠 이것을 그림으로 알기 쉽게 표현해 보도록 하죠.



그림이 약간 이상하긴 하다만 다음과 같이 사차함수와 직선이 접합니다. 

그러므로 이를 식으로 표현하자면 아래와 같이 됩니다.




지금까지 앞서 말했듯이 g(x)에 대한 정보를 도출해 내었습니다.


정보를 도출해 내었기 때문에

이제는 f'(x)의 분자인 사차함수를 분석해서 f(x)의 증감을 판별해 볼 차례네요.

이 g(x)를 f'(x)에다가 통째로 대입하고 정리해보도록 하죠.


도출 과정을 위한 계산은 매우 귀찮으니 생략할 것입니다.

이렇게 정리가 되네요. f'(x)=0에서 alpha와 beta가 극값인건 자명하고 이젠 다음으로


의 근을 구해보도록 하죠. 이것의 근은 매우 복잡하기에 그래프로써 관계를 봅시다.

이런 식으로 두 근중 하나는 x<a에 다른 하나는 alpha와 beta사이에 존재한다는 것을 알 수 있네요.

하지만 앞서 정의했듯이 이 함수는 x>a 일 때만을 다루므로 f(x)의 극값은 alpha, beta, alpha와 beta의 사이에 있는 값 이렇게 총 3개가 됩니다.

g(x)의 극값은 f(x)보다 작아야 하지만 사차함수의 극값은 항상 3개 혹은 1개만 가능하니 g(x)의 극값은

한 개가 되겠군요.


이제는 모든 과정이 끝났습니다.

여기에서 g'(x)=0의 근이 1개 혹은 2개일 조건을 찾으시면 M>=216이 나올 것입니다.

이것에 대한 계산은 이미 많은 기출문제집 등등에서 다루므로 생략합니다.


이렇게 쓰고 보니까 171130은 정말 까다로운 문제같네요.


공대오지마라 의치한가라라는 말을 마지막으로 떠납니다.


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