수학상 질문

Question

수학의 정석 수학상 실력편 필수예제 4-4문제변형
a,b,c가 자연수이고, p=a²+b²+c² 일 때, a,b,c,p가 모두 소수이면 a,b,c 가운데 적어도 하나는 3이다(단, a,b,c가 모두 3의 배수가 아니면 p는 3의 배수이다.)를 증명해라.
제가 이 문제를 풀 때는 귀류법으로 풀었는데요.
이 명제의 대우명제는' a,b,c 가 모두 3이 아니면 a,b,c,p중 한 개가 소수가 아니다'  이 대우명제를 이용해서 풀자니 너무 난해해서 풀이과정을 보니까 대우를 할 때 'a,b,c가 모두 3이 아닌 소수이다 '로 결론을 부정했네요. 이 부분이 이해가 가지 않습니다.
도와주세요.

Xavi · Accepted Answer

가운데 적어도 하나->합집합
합집합의 드모르간의 법칙을 써서 모두 3이 아닌게 되는거죠.

닥터뭉 · Answer

아니여. 'a,b,c모두 3이 아니면'이 되어야 하는데  'a,b,c가 모두 3이 아닌 소수이다'라고 하는 것이 왜 가능한 지 궁금합니다.

닥터뭉 · Answer

명제가 틀린 것을 보이는 것이 아니라 옳은 것임을 증명하는건데요 ㅎㅎ;
증명법에 귀류법을 쓸 때 결론을 부정하잖아요,,  그 때 결론(a,b,c,가운데 적어도 하나는 3이다)을 부정할 때  답지에서 'a,b,c가 모두 3이 아닌 소수이다'라고 하는데 왜 이렇게 하느냔 말이죠
ㅎ.. 제 생각엔 저렇게 하면 안 되고 'a,b,c가운데 적어도 하나는 3이다'의 부정은 'a,b,c가 모두 3이 아니다'로 해야 할 것 같은데 이 점이 궁금해서 질문드리는 겁니다.

이미설전컴 · Answer

결론이 a,b,c,p가 모두소수이면 a,b,c중 적어도 하나는3이다. 요거 전체라서 그래요. 명제가 틀린거보이는건 결론 부분을 명확히 하려고 썻어요

닥터뭉 · Answer

아 그렇군요!! 감사합니다 !

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