수능 수학의 정도. [필연성] (2015 6월 평가원 30번)

Question

제가 올렸던 필연성에 관한 글들이 약간은 추상적이여서 좀 더 구체적으로 어떤게 필연성을 느끼면서 기 출을 공부하는 것인지에 관해 글을 올리게됬습니다. 필연성이 무엇인지 교과서의 도구화란 무엇인지를 2015 6평 30 번을 예로써 한 번 같이 보겠습니다    우선 이 문제에 관한 해설들이 처음 올라왔을 때 대부분의 풀이가 모두 기울기를 왜 조사한건지에 관한   설명없이 바로 기울기가 [3,4] [5,6] 구간에서 각각 1 ,3이니 평균값정리에 의하여 직선밖에 될 수 없다는   식으로 되어 있었다. 하지만 이 문제의 근본적인 물음은 그 기울기를 왜 조사하려 했는지에 있다.  대부분의 수학을 좀 잘 한다는 학생들 혹은 선생님들은 모두가 수학적 직관력과 감각이 이미 보통의 수험  생들 보다는 높고 그들은 보자마자 그냥 바로 기울기가 1 ,3 인걸 눈치 챘을 것이다.   다만, 왜 조사했는지 물어보면 명확한 답을 할 수 있는 사람은 드물것이다. 그렇다면 당신은??   당신이 저런 사람들과 항상 같은 부류라고 단정지을 수 있는가?? 수능 당일 날 저 기울기를 조사할 생각  을 필연적으로 할 수 있겠는가??  우리는 다름을 인정해야 한다. 다른 이들의 수학적 직관력과 감이 우리에게도 있을 거라는 막연한 기대로  부터 벗어나서 필연의 길을 따라갈수 있어야 한다.  이 문제를 바르게 정독하고 필연적으로 푼다는게 무엇일지 같이 보도록 해보자.  우선, 첫 줄을 읽고 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분이 가능하다. 아 !! 첩점이 없는 부드러운 함수  겠거니 생각한다 . (이런 사소한 생각 조차 하기 싫어해서 이런 조건들을 그냥 넘기는 자들이 있는데 이   시점에서부터 이미 필연의 길을 얼마나 따를 준비가 되있는지와 그렇지 않은지가 보인다. 킬러를 대하는   태도에서부터 이미 차이가 나는 것이다.)    그 다음 (가) 조건 부터 쭉 봤더니 아직은 잘 모르겠다. 조건을 봤다면 이제 가장 중요한 문제의 목표 즉,   문제가 묻는 것이 무엇인지를 봤다. fx를 적분구간 3에서 6까지를 정적분하는게 구하고자 하는 것이다.    그렇다면 f(x)를 추론 해야하는데 식으로 할까 ? 그래프로 할까? 조건들을 봤을때 하물며 f(x)가 다항함수  인지 초월함수인지도 모르는데 식으로 가는건 아니라고 판단이 들고 당연히 그래프로 추론할 생각이들게  된다. 이때 (가),(다)조건으로는 너무 막연하므로 정수엣의 격자점을 알려준 (나)조건을 이용해서 우선 접  근을 해야겠다는 생각이든다. (정수에서의 격자점을 알려준 이 조건은 평가원에서 흔히 쓰는 이산적 코드  를 섞어 놓은 것 뿐이다. 굳이 격자점 좌표를 주면 될걸 뭐 이리 어렵게 표현하느냐 할 수 있겠지만 이렇  게 표현함으로써 문제를 좀 더 복잡하게 보이게끔 괸히 겁먹게하는 효과도 있는것 같다. 결국 별거 아니  지만..) (나)조건을 이용해서 격자점을 모두 찍었다면 이제, 남은 구간에서 f(x)의 그래프를 어떻게 추론  할 수 있을지 생각하게 되고 남은 조건들로는 바로 fx 개형이 생각나지 않는게 당연하다. 그렇다면 생각해  보는것이다. 분명 f(x)가 미분이 가능한 부드러운 함수였고 증가 함수인건 아니깐 증가하면서 부드러운   함수를 저 격자점을 지나도록 임의로 그려본다.        이렇게 그리기만 하면 f(x)가 되는것인가?? NO ! 문제에서는 분명 (가) 조건인 f'(x)가 1이상 3이하 라는   조건을 만족 한다고 되어있다. 그렇다면 막 그린 f(x) 함수가 (가) 조건을 만족하는걸 보이기 위한 판단의   기준이 있어야 할 것 같다는 생각이 들고 그 판단의 기준이 무엇일지를 주어진 조건 즉, f(x)의 격자점의   좌표와 연결 짓는다면 우리가 배운 도구중에서 함수위의 정해진 정점과 도함수에 관한 도구들이 떠오르  게 된다.(이것이 교과서 개념의 도구화) 롤?? 평균값?? 중간값?? 그중에 지금 사용해야할 도구는 평균값  의 정리라는걸 알 수 있고 그렇다면 이제 두 정점사이의 기울기를 필연적으로 살피게 된다. 그 후 그 부분  이 직선밖에 될 수 없음을 추론 할 수있다. (이하의 풀이는 생략.)

독이 · Accepted Answer

이 문제뿐만 아니라 수학을 공부하면서 항상 고민하던 내용을 잘 다루어 주셨네요. 난해한 문제의 당연한듯이 써놓은 풀이를 보며 왜??라는 질문을 자주 했던 저는 흥미롭게 읽었습니다.

수능 수학의 정도. [필연성] (2015 6월 평가원 30번)

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