EBS 파이널 수리'가'형 2회 7. 좀 풀어주세요ㅜ
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EBS 파이널 수리'가'형 2회 7.
두 이차정사각행렬 A, B가 A^=O, B^=O를 만족할 때, 다음 중 옳은 것은?
ㄱ. (AB)^=O
ㄴ. 두 행렬 A와 B는 모두 역행렬을 갖지 않는다.
ㄷ. 행렬 (A+E)(B+E)는 역행렬을 갖는다
여기서 ㄱ 이랑 ㄷ 풀이좀 해주실래요?ㅠㅠ
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..... 일단 에이 제곱이 영이니까 A 역행렬이 존재한다고하면 모순... (E=0) 그러므로 A 의 역행렬이 존재하지 않는다. 마찬가지로 B도..
그러므로 ㄴ은 참. A제곱이 0이므로 A^-E=-E 인수분해하면 A+E 의 역행렬이 존재... 마찬가지로 B제곱이 0이므로 B+E의 역행렬도 존재..
역행렬이 존재하는 두 행렬의 곱은 항상 역행렬이 존재... 그러므로 ㄷ 은 참..
ㄱ 은 교환 법칙 AB=BA 가 보장되어 있지 않으므로 항상 참은 아님... 고로 답은 ㄴ ㄷ
아무리해봐도 ㄱ 이해가 안되요ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
A^2=O, B^2=O이라고해서 ABAB=O이라고 할 수는 없지요. 만약 BA=AB라면 맞는 말이겠지만 그런 말도 없구요. 우선 생각할 수 있는 반례가 어마어마하게 많아요. 우선 A^2=O을 만족시키는 행렬을 찾아보아요. A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O이라는 케일리 헤밀턴 공식을 이용하면 a,b,c,d찾기 매우 수월할거예요. (a+d)=O, (ad-bc)=O이 되는 걸 찾으면 되니까요. B행렬도 마찬가지 방식으로 찾아서 한 번 해보시면 명제를 만족시키는 게 만족시키지 않는것보다 더 찾기 어렵다는 걸 알게되실거예요.
그리고 A^2=O이 되는 예를 쉽게 찾기 위해서 (a+d)=O, (ad-bc)=O이라고 한거지 A^2=O이라고 해서 꼭 (a+d)=O, (ad-bc)=O이게 되는 건 아니에요,
아니,,,,다시 생각해보니 A^2=O이면 (a+d)=O, (ad-bc)=O이건 맞는 말이네요.
참인 명제는 증명이 가능해야하고, 거짓인 명제는 반례를 찾을 수 있어야 합니다.(실제로 수능에서 요구하는것이 바로 이 두가지입니다.)
ㄱ의 풀이방법은 사실 반례찾기밖에 없습니다. 어떤 명제가 거짓임을 보이는 방법은 반례뿐이기 때문입니다.
예를 들어
A =
(0 1)
(0 0)
B =
(0 0)
(1 0)
이면 A^2 = 0, B^2 = 0이지만
(AB) =
(1 0)
(0 0)
이고
(AB)^2 =
(1 0)
(0 0)
입니다.
이외에도 이런식으로 몇가지 반례찾기를 할때 유용한 몇가지 행렬들이 있습니다.
A^2 = A가 나오는
(1 1) (1 0) (0 1) (0 0)
(0 0) (1 0) (0 1) (1 1)
(위의 행렬들을 잘 조합해서 곱하면 AB = A의 형태도 발견할 수 있습니다.)
(1 0)(0 0)
(0 0)(0 1)
(위의 행렬과 반례에서 쓰인 행렬을 잘 조합해서 곱하면 AB = 0의 형태도 발견할 수 있습니다.)
A^2 = E가 나오는
(0 1)
(1 0)
등등 여러가지가 있으니 한번 기회잡아서 공부해보시면 반례찾기 문제를 더욱 수월하게 하실 수 있을것입니다.
(사실 이상의 행렬들은 케일리-헤밀턴 정리를 잘 생각해보시면 당연한 결과이기도 합니다.)
오ㅋ이거 강대에서 들은거당ㅎㅎㅋㅋ
그.......골프치다 부산대성가신 분.....이름뭐였더라