a<b일 때 0<af(b)<bf(a)이면 f(x)는 위로 볼록?
게시글 주소: https://orbi.kr/0005003804
(09년도 대비 9월 평가원 수리 가형 11번입니다. 문제에는 x,y로 조건이 써있는데, a,b로 수정했어요.)
요약
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
이때 f''(x)<=0임을 증명.
-----------------------------------------------------------------
조건
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
보기생략
일반적인 풀이
0<f(b)/b<f(a)/a이므로 '그려보면' 위로 볼록인 개형이 나온다. 따라서 위로 볼록으로 잘 그려서 삼각형 열심히 만들어서 풀면 됩니다.(보기나 뒤쪽 해설같은건 생략할게요. 논지에서 벗어나니)
물론 저렇게 풀면 답이 잘 나옵니다만, 수식으로만 유도해보고 싶은데 잘 안나오네요.
우선 a<b일 때 f(b)/b<f(a)/a이므로 (0,1)에서 f(x)/x는 감소함수입니다. 즉 (f(x)/x)'<=0이고, h(x)=xf'(x)-f(x)로 놓으면 h(x)<=0입니다.
f(0)=0에서 h(0)=0이므로 h(x)의 그래프는 원점을 지납니다.
이제 h(x)가 (0,1)에서 감소함수임을 보이면 h'(x)=xf''(x)<=0이 되고, x>0이므로 f''(x)<=0, 즉 위로 볼록임을 증명할 수 있습니다. 그런데 이게 진짜 잘 안나오네요. 식조작을 어찌하면 좋을까요.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
잘자요 8
저는 이만 자러가볼께요 행복한 꿈을 꾸며 오늘은 그래도 괜찮았던거 같아요...
-
시간 버그인가
-
살아있는 사람 손
-
경기력 ㅈ망인데 상대가 더 못해서 이기니까 이겨도 기분이 썩 좋진 않네
-
요즘은 좀만 이쁘면 다 지들이 직접 연프 출연하고 유튜브 인스타 셀럽해서 돈 버는...
-
얼버기 0
다시잠
-
그냥 아무한테나 사랑받고 싶어서 남자라도 좋다 약간 그냥 이런 느낌인거임
-
-
ㅈ버러진 공격진과 미드진들 ㄷㄷ
-
오르비 안녕히주무세요 13
해뜨고 봐요
-
본인 책장 ㅇㅈ 9
ㅁㅌㅊ임?
-
동생을 밥 사줄수있는 어른 되고 싶다
-
-
추천좀
-
좋은 어른이 되고 싶음 11
난 항상 좋은 어른이 되려고 노력하는데 그게 잘 되지 않음... 너무 연약하고,...
-
-
안자는분들 19
왜안잠
-
야식추천 9
ㄱㄱㄱ
-
고해성사 6
쓸 게 없네요...
-
사탐내신대비 0
제가 2학년땐 세계사 경제 윤사였을땐 경제는 개념 습득후 마더텅 수특 다풀고 나니...
-
게이 vs 레즈 3
둘다 좋음요
-
양성애자임 2
뻥임
-
질받 메타 참요 9
암거나 ㄱㄱ
-
아 잘까? 1
제목그대롬뇨
-
3학년때 확통을 최소 2는 받아야만 하는 학생입니다 현재 시발점 했고 낼부터...
-
현강가면 집중도 잘되고 잘 가르쳐주시니까 좋긴한데 현강의 메리트가 뭔지...
-
-
오르비 안녕 3
나 집 간다 ㅂㅂ
-
선넘도 괜찮아요
-
프로11 사시나요 프로13 사시나요 에어11 사시나여 에어 13 사시나요??
-
맨날 술마시는데 0
진짜 ㄹㅇ중증 알콜중독인듯 나
-
거리 상으로는 홍대가 40분정도 더 가깝습니다 집안 분위기 상 자취나 기숙사는...
-
이왜진???
-
주인 잃은 레어 5개의 경매가 곧 시작됩니다. 디맥 리스펙트 V"네오위즈에서 개발한...
-
웃긴게 얘 게이인걸 여자친구한테 들킴 ㅋㅋㅋㅋ 그냥 양성애자 아닌가 싶은데 그냥...
-
개뻘글에 어그로 너무 많이끌려서 위험느끼고 튑니다 안녕히 주무십쇼 10
하 이미지 어카냐 진짜
-
오야스미 2트 1
네루!
-
새벽에 심심해서 갑자기 합격증 올리기 .. ㅎㅎ 목표가 중경외시+이화..였어서...
-
-
심연이니까 취향선택좀 13
후타나리 vs 쉬메일
-
아빠안잔다. 10
나 ㄹㅇ 왜안잠? 시간 늦어지면서 아이큐 실시간으로 떨어지는중
-
도플러효과에서 헤맨 난 저능아
-
ㄹㅇ 황근출해병님과 전우애 실시하나요?
-
수능볼까요 13
말까요
-
주위에 레즈는 꽤 있음 15
게이는 못 봄
-
원래 계획은 미적 단과수업 + 스스로 수분감 풀면서 병행 이었는데 이번에 시대인재...
-
사랑해요
-
LGBTQ+ 3
-
먼가 무능한 남자 1같음
-
그냥 눈팅만좀 해보고싶은데
애초에 명제를 생각해낸 논리부터 고려하셔야 될 거 같아요. ' 00에서 0보다 클 때, f(a)/a>f(b)/b이면 f(x)는 위로 볼록이다'라는 명제를 수식으로 증명하려고 할 수 있지만, 역으로 반례를 찾으면 거짓이 됩니다. 아마 대강의 그림을 그려보시면 반례를 찾으실 수 있을 겁니다. 아니면 적당한 삼차함수를 잡으시고 기울기를 관찰하셔도 됩니다. 즉, 수식으로 참임을 증명할 수 없습니다.
조건이 af(b)/b뿐이라면 반례가 존재합니다. 그런데 실제 저 문제를 풀때 명시된 조건을 가지고 위로 볼록으로 판단해서 푸는 해설말고 다른 해설을 본적이 없어서 질문올린거에요 ㅎㅎ ㅠㅠㅠ물론 여기서 위로 볼록은 (0,1)에서의 위로볼록입니다.
저도 완전한 풀이 올리고 싶은데 수험생인지라 시간이 너무 오래 걸릴 거 같네요 ㅜㅜ(어려운 문제긴 해요 ㅋㅋ), 대신에 포카칩님이 쓰신 '수학영역의 비밀'이라는 책에 이문제에 대한 논리적인 풀이가 있습니다. 아마 해답지 말고 본문 속에 있을 거에요. 주변에 친구 책이나 아니면 서점 가셔서 한번 찾아보시길!!
오오 그렇군요 한번 찾아봐야겠네요 ㅇㅂㅇ
명시된 조건은
다항함수 f(x), f(0)=0 0