해모 A형 30번 논리적으로 풀수 있을까요?
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근데 이거 올려도 되나요?
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그냥 쭉 쓰다보면 집합들 원소에 대한 특징 나오게 되고
그걸로 포함관계 따지면 되는거 아닌가요 ??
어떻게요?
전 그냥 쌩으로 다해봤는데...
역시 그방법 밖엔 없나요?ㅠㅠ
하나하나 해보는걸 꺼리기때문에.. 도전+_+
해당 이미지는 저장하겠지만 절대로 제 pc밖으로 나가는 일은 없습니다.
혹시나 지우실까봐 ㅋ_ㅋ....
넵 ㅎㅎ
둥둥이님은 가능하실듯ㅋㅋㅋ
이거 푸는방법 뭐에요?ㅠㅠ 따져야할경우가 너무많아지는데
핵심원리를 못발견하겠어여
저도 모르겠어요... 규칙성이 있는건지...ㅠㅠ
이거.. 음.. 문제에 오류가 있는거 같은데..
어떤...?!
log2는 무리수라서 문제자체에 오류는 없지만 마지막에 log2=0.3010 으로 유리수로 만들어버렸기때문에 1000을 단위로하는 일정한 주기성을 갖게 되고, 이에 오류가 생겨난 것 같아요.
즉 어떤 i에 대해서 A_i=A_j 를 만족하는 j가 무수히 많고
이 경우 B_i=B_j 이기 때문에,
A_m⊂B_n 을 만족하는 (m,n)쌍이 무수히 많을거라고 생각해요.
예를 들어, A_2=A_303=A_604=... 이므로 B_2=B_303=B_604=... 이고
A_4⊂B_2 라면 A_4⊂B_303도, A_4⊂B_604도 성립합니다.
즉 (m,n)의 쌍은 무수히 많아져서 답도 없지요.
m을 20이하로 잡아준것은 매우 고맙지만 n의 범위에도 제한을 두었으면 좋았을 것 같아요. 그리고 사족이지만, n이 자주 겹치네요. 조금 더 신경써서 다른 문자로 대체했으면 어땠을까 싶어요ㅎㅎ
먼가.. 제 생각이 틀렸다면 지적부탁드려요.
아.. 그리고 출제자의 의도대로 접근하면, 논리적인 풀이는 가능하리라 보여집니다. 어짜피 정수분류라서ㅎㅎ..
풀이법좀 자세히 알려줄수있어요?
log_m에 대하여 가수 k=4부터 순서대로 0.204, 0.505, 0.816, 0.107, 0.48 ... ㅠㅠ
도대체 뭔규칙이 있는질 몰겠어요
k=1,2,3 /4,5,6 / 7,8,9 / 10,11,12,13 / ,14,15,16 / 17,18,19 / 20,21,22,23 이런식으로 자릿 수 달라져서 3군 6군.. 3t+1군이 4개고 나머진 3개로 묶인 규칙까지는 찾았는데
집합 An Bn을 어떻게 관계시키는건질 모르겟어요 a,b라해서 각각 n1, n2로 뒀는데 이렇게 따지다보면 경우의수가 너무 많아져요
저는 원소를 kx-n 의 꼴로 놓고 생각했어요. 음..음.. 밑에 풀이를..
A_i=A_j를 만족하는 i, j가 있을수 있나요? ㄷㄷ...
늦었네요ㅠ 일단.. (원하시리라 생각하는) 풀이를 적어보았습니다ㅎㅎ
하나하나 세어보지 않는, (아마도)논리적인 풀이입니다. 오류가 있으면 꼭 지적해주세요.
자연수 k에 대하여 log2^k 의 지표와 가수를 각각 f(2^k)=n_k, g(2^k)라 하면,
g(2^k)=0.3010k-n_k=kx-n_k (x=0.3010)
① 일단 겹치는 원소가 있는지부터 알아보겠습니다.
자연수 i, j (i>j)에 대하여 g(2^i)=g(2^j)라면,
g(2^i)=g(2^j)
⇒ ix-n_i=jx-n_j
⇒ (i-j)x=n_i-n_j
⇒ i-j=1000d (d는 자연수, ∵n_i-n_j는 음이아닌 정수)
⇒ 301d=n_i-n_j
∴ A_n=A_(n+301d), B_n=B_(n+301d)
이에 A_0, A_1, ..., A_300에는 겹치는 원소가 없음을 알 수 있습니다.
출제자의 의도에 맞춰 이후 k＜1000 인 경우만 고려할게요.
② n의 변화에 따라 A_n이 어떤 규칙으로 구성되는지를 살펴보겠습니다.
이해를 돕기위해 A_0, A_1, A_2 를 적어놓을게요.
A_0={(0x), 1x, 2x, 3x}={(0), 0.301, 0.602, 0.903}
A_1={4x-1, 5x-1, 6x-1}={0.204, 0.505, 0.806}
A_2={7x-2, 8x-2, 9x-2}={0.107, 0.408, 0.709}
(A_0의 원소 중 0x는 포함되지 않지만 편의상 적어넣었습니다)
g(2^k)=kx-n_k 이므로 A_n의 원소는 반드시 kx-n의 꼴로 적히게됩니다.
이제 k=p일 때와 k=p+10c일 때를 비교해보아요.(p=0,1,...9, c는 음이아닌 정수)
k가 10증가하면 10x=3.01이므로 원소는 0.01 증가합니다. 물론 0.99이상인 상태에서 0.01이 증가하면 다시 1을 빼줘서 0.99감소한 걸로 보일텐데요, 그러기위해서는 A_0, A_1, A_2 의 원소 중 가장 큰 3x=0.903 에서조차도 k가 100은 증가해야합니다. 이는 20이하의 자연수 m이라는 조건에 위배되므로 "k가 10증가하면 원소는 0.01 증가한다" 라는 명제는 참입니다.
따라서, A_n을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.(n≤20)
n=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=0,1,2,3}
n-1=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=4,5,6}
n-2=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=7,8,9}
③ A_n을 알았으니 이제 그에 따른 B_n을 생각하고 둘의 관계를 파악하겠습니다.
n=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=0,1,2,3}
B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=0,1,...,6}
n-1=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=4,5,6}
B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=8,9...,12}
n-2=3c 일 때, A_n={kx-n|k=p+10c, p=7,8,9}
B_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=14,15,...18}
B_n의 원소 중 1보다 큰 것은 A_m이 부분집합임을 판단하는데에 전혀 영향을 미치지 못하므로 B_n의 원소 중 1미만 인 수만 골라서 부분집합 C_n을 만들게요. 그렇다면 A_m⊂B_n 이기 위해서는 반드시 A_m⊂C_n 이어야 하고, 필요충분조건이므로 모든 경우를 판별할 수 있습니다. ②에 의해 C_n을 다음과 같이 설정할 수 있습니다.
n=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=0,1,2,3}
n-1=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=8,9}
n-2=3c 일 때, C_n={k'x-2n|k'=p'+20c, p'=14,15,16}
위의 결과와 ①에 의해 A_m⊂C_n 이기 위해서는 적어도 m=2n을 만족해야하고, A_2n과 C_n의 원소를 살피면 n-2=3c일 때와 n=3c일 때만 A_2n⊂C_n 이 성립함을 알 수 있습니다. 단, n=0일 때는 임의로 A_n에 원소 0을 넣었으므로 B_0을 살펴보아야 합니다.
B_0={2x,3x,4x,5x,6x}니까 A_0은 B_0의 부분집합이 아니네요.
③의 결과에 의해
(모든 m+n 값의 합)
=(3n의 합)
=3×{(2+5+8)+(3+6+9)}
=99
답이 틀렸다면 참 우스워지겠습니다만.. 하하..
머리로는 금방 풀었는데 풀이를 적다보니 한시간은 걸린것 같아요ㅠ
실제로 문제를 풀 때 저는 확인차 어느정도 대입해보면서 이렇게 규칙의 당위성을 판단하는데, 머가 좋다고 말씀은 못드리겠네요ㅎㅎ 아무래도 숫자를 대입해보며 규칙을 찾는 일반적인 방법이 수험생께 현실적이라고 생각은 합니다.
오류or오타가 있거나 답이 틀렸다면 꼭 알려주세요ㅠ
적어놓고보니.......
다 읽으신 분, 복받으세요♥
자세히 읽으신 분, 여친 생기실 겁니다♡
일단 감사합니다. ^^
답 맞구요 ㅎ
천천히 이해해보고 댓글 드리겠습니다.
근데 왜 i-j=1000d가 되나요?
i와 j가 1000씩 차이나는 이유가 있나요?
0.3010(i-j) 가 음이아닌 정수이므로 i-j 는 1000의 배수여야 해요+_+
아...!!
1.겹치는 원소가 있는지 판단할 때,
301d=n_i-n_j 에서 어떤 이유로 마지막 결론부분이 도출된건지 모르겠어요...
주기성을 가진다는건 알겠는데, log2^i의 지표와 log2^j의 지표의 차이가 301의 배수만큼 차이가 난다는 것과 자연수 k를 놓고 볼 때 301의 배수만큼의 주기성을 갖는다는 말은 다른의미 아닌가요? 예를들어서 2^20과 2^321이 있다면 두 수의 지표의 차이가 301이라는 의미가 아닌 k의 차이가 301이라는 말이 되는거 아닌가요?
2.0.99에서 0.01이 증가하면 1을 빼니까 0.99 감소한 것처럼 보인다는것 까지는 알겠는데요... 갑자기 그러기 위해서는... 부터 나오는 설명이 이해가 안가요 ㅠㅠ 제가 이해한 바로는... k가 10만큼 증가할 때, 가수부는 0.01씩 증가한다는 규칙성을 설명할 때 1을 넘게되면 그 규칙이 깨지게 되고, A_0~2까지 중 가장 큰 원소로 볼때 그 규칙이 깨지려면 k는 100이상이 아닌 1000이상 증가해야 한다는것 같은데... 맞나요?
근데 그렇다 할지라도 0.99 이상의 원소가 A_20까지 단 한개도 없다는걸 보여야하는거 아닌지...?
제 표현력이 부족하여 읽어주시는 분들께 고생만 시키는 것 같네요ㅎㅎ
1. 음... 아마 문자가 많아서 혼란이 야기되지않았나 싶네요.
0.301(i-j)=n_i-n_j
즉, 0.301*(자연수)=(음이아닌정수) 이므로 (i-j)가 1000의 배수인 경우에만 가수부분이 같아지고 그렇지 않은 모든 경우에 가수부분은 다른 값을 같습니다.
예를들어 2^3, 2^1003 이 있을 때,
i-j=1000, (i-j)x=301, n_i-n_j=(i-j)x=301=(지표의 차이)
즉 2^k에서 k가 1000차이가 나면 그 log의 지표인 n_k는 301차이가 나고 가수는 같다는 거지요. log2^3의 가수가 A_0의 원소라면 log2^1003의 가수는 반드시 A_301의 원소일 것이고 실제로도 그렇습니다.
"log2^k에서 k=0~999 일 때의 가수는 모두 다르고, log2^k의 가수가 A_n의 원소라면 log2^(k+1000)의 가수는 반드시 A_(n+301)의 원소이고 그 값은 같다."
1에서 말하고싶었던 건 이거에요ㅎㅎ
2. A_0, A_1, A_2에 10개(4+3+3)의 원소가 있지요. A_0, A_1, A_2에 0.99이상인 원소가 없다면 각각에 0.01씩을 더한게 A_3, A_4, A_5의 원소일 것입니다. 물론 10개(4+3+3). 마찬가지로 A_3, A_4, A_5에 0.99이상인 원소가 없다면 각각에 0.01씩을 더한게 A_6, A_7, A_8의 원소겠지요. 역시 10개(4+3+3).
'그렇다면 이 규칙이 언제까지 유지되느냐'라는 것은, A_0, A_1, A_2의 원소 각각에 0.01씩을 계속 더했을 때 어느 하나가 0.99이상이 되는 순간까지겠네요. 물론 그 어느 하나는 A_0, A_1, A_2의 원소 중 젤 큰 수에서 나올거구요. 그게 A_0에 포함된 0.903입니다. 여기에 0.01을 9번 더하면 0.993이 되고 이는 A_27의 원소겠지요.
즉 A_27, A_28, A_29까지는 해당 규칙이 유지되고, A_30에서 처음으로 규칙이 깨질것입니다. 0.993+0.01=1.003 이니까 A_30의 원소는 4개가 아니라 3개가 되고 A_31의 원소가 3개가 아니라 4개가 되겠네요.
모든 원소를 일렬로 쭉 세워 A_0에 있는 3x=0.903을 3번째원소(k=3)라고 해볼까요.
그렇다면 A_27에 있는 0.993=93x-27은 93번째원소(k=93)이고, 103번째원소(k=103)는 1.003이 아니라 0.003으로 A_30이 아닌 A_31에 존재하여 규칙이 깨어집니다.
규칙이 깨지려면 k는 100이상 커져야 한다는 것, A_20이하로는 0.99이상인 원소가 없다는 것. 부족했던 설명을 이렇게나마 보충합니다ㅎㅎ
(여담. 정확히는 A_26이하에 0.99이상인 원소가 없고, A_29까지 규칙이 유지되겠네요.그리고 만약에 A_0, A_1, A_2에 가장 큰 원소가 0.943이었다면 저는 '규칙이 깨지려면 k는 60이상 커져야한다'라고 말했겠지요ㅎㅎ)
... n_k _이건 무슨 뜻이죠???
n은 k에따라 결정되기때문에 그렇게 적었어요. 그냥 n이라고만 적으면 구별을 못하니까요.
n_k=n=h(k) 로 보셔도 상관없습니다ㅎㅎ