솔로깡님 질문 사진첨부 했습니다~
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댓글에서 극한값이 존재하므로 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다 이부분이 잘못되었다고 말씀해 주셨는데요
그런데 사진 첨부된것처럼 따라서 뒷부분: 미분계수값과 ㄱ과 ㄴ에서 좌미분계수와 우미분계수의 값이
같다. 이부분이 왜 어떻게 잘못되었는지 잘 이해가 안갑니다.
제 생각에는, 이부분 자체는 맞고,
도함수의 불연속을 따지려면 도함수 자체의 극한값과 도함수의 함숫값이 같아야한다. 이부분을 제가
뭔가 오해하는것 같습니다.
저는 우미분계수가 도함수의 우극한이라고 생각합니다. 이것이 잘못된 것인가요?
또한, 사진첨부에서 틀린 부분을 알려주심 감사하겠습니다.
----------사진이 잘 안보이는것같네요?;;;
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ebs 수능특강 : 도함수의 정의 - 일반적으로 함수 f(x)가 "정의역" X에서 미분가능하면 "정의역"에 속하는 모든 x에 대하여~
지정된 두 함수에서 정의역이 서로 다릅니다. 애초에 x=0에서 위의 식이 정의되지 않고, x=0일 떄, 함숫값은 0이다 라고 되어있습니다. 즉, f'(0)을 정의할 수가 없는데, 그걸 "있다고 가정하고" 생각을 했다는 것이 문제인 셈입니다.
잘못된 점은 "lim (xㅡ>0) x^2 sin (1/x) =0으로 존재" 부분입니다.
x=0에서 해당 함수가 정의되지 않았으므로 존재한다고 할 수 없습니다. f(x)=x^2 sin (1/x) 가 x=0에서 정의된 함수식이 아니므로, 미분계수 구하는 식에 저렇게 대입할 수도 없고요.
x=0일 때 함숫값이 0이라고 강제로 지정한다고 해서, x^2 sin (1/x)의 식을 미분계수의 정의에 대입해도 되는 것은 아닙니다. 애초에 x^2 sin (1/x)가 0에서 정의되지 않았으니까요.
f`(0)을 정의할 수 없다는것은 f`(0)을 구할 수 없다는 것과 같은 말이라고 생각해도 되나요?
그런데 식으로는 사실 구할수 있지 않습니까? 정의를 통해서..
위 식에서 함수 f도 사실 정의되어 있으니까요.
미분계수 구하는 식에 저렇게 대입할 수 없다는것은 좀 이해가 가지 않습니다.
이게 실력정석 연습문제 기본 10-3번인데요, 답지도 제가 써 놓은 풀이와 같습니다.(f`(0)을 구할 때 미분계수의 정의 이용->위 정의된 함수를 미분계수 식에 넣음)
말씀하신 지정된 두 함수라는 것은 x=0일떄와 x=0이 아닐때를 말씀하시는 것이지요?
문자들을 혼용하다 보니 쓰면서 혼동했네요.
g(x)=x^2 sin (1/x) 의 함수에 대한 g'(0)을 정의할 수가 없습니다. (제가 의도한 것은 f'(0)이 존재하지 않는다는 것이 아닙니다.) f'(0)=0으로 명백히 정의됩니다.
정석책이 지금 없어서 잘 모르겠지만, 도함수를 구하기 위해서는 미분을 해서, 도함수의 식을 도출하여 좌극한, 우극한을 나타내는 방식으로 해설했으리라 추측합니다.
아까 정신없었는데 이제 다시 보니 정리되네요.
일단, 원함수의 도함수가 존재한다는 것은 '좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 한다'는 뜻이 확실합니다. 하지만 도함수가 x=a에서 연속이라는 것은 도함수의 우극한 값과 도함수의 좌극한값이 같다는 것이고요.
저 위 수식에서 잘못된 논리로 전개된 것은 좌미분계수와 우미분계수를 도함수의 우극한과 도함수의 좌극한으로 전제하고 논리를 이끌어나갔다는 점입니다.
이 둘은 서로 다른 별개의 개념입니다. 도함수의 정의, 미분계수의 정의로 해당 논리 '좌미분계수, 우미분계수의 국한은 도함수의 좌극한, 도함수의 우극한이다'는 것을 이끌어낼 수 없습니다.
그렇군요... 우미분계수와 도함수의 우극한을 동일시해서 틀린것이군요 알겠습니다
정말 감사합니다!
이와 관련해서 한 정리에 대한 링크 붙여넣겠습니다.
http://unolab.tistory.com/83
링크 내용을 요약하자면, 함수 f(x)가 미분가능하더라도, 그 함수의 도함수가 미분가능하다는 보장도,연속이라는 보장도 없습니다만, 중간값의 정리는 항상 적용할 수 있다는 것을 의미합니다.