[박수칠] 역함수의 미분법 이해하기
게시글 주소: https://orbi.kr/0004590637
수학영역 A형에 비해 B형에서는 다양한 미분법/적분법을 배우게 됩니다.
그 중에 살~짝 어렵고 헷갈리는 것이 '역함수의 미분법'인데요,
이 글을 통해 간단명료하게 설명해드리겠습니다.
1.일단 역함수의 미분법은
(1) x=f(y) 꼴의 함수를 미분하기 위한 것입니다.
(2) 그래서 역함수의 도함수를 구하는데 이용되죠.
2.역함수의 미분법에 관련된 공식은 다음 두 가지가 있습니다.
각각의 증명은 다음과 같습니다.
(1) 의 증명
(2)의 증명
3.그럼 공식 2-(1)을 이용해서 도함수를 계산해봅시다.
(1) 주어진 함수를 x=f(y)의 꼴로 표현하기 위해 양변을 n제곱합니다.
(2) 양변을 y에 대해 미분합니다.
(3) 를 이용하기 위해 양변을 역수로 바꿉니다.
(4) 따라서 주어진 함수의 도함수는 다음과 같습니다.
(1) 역함수를 구하기 위해 x, y의 위치를 바꿉니다.
y=f(x) 꼴로 정리하지 않아도 위 식은 이미 역함수입니다.
(2) 양변을 y에 대해 미분합니다.
(3) 를 이용하기 위해 양변을 역수로 바꿉니다.
이 식이 바로 역함수의 도함수입니다.
역함수 를 y=f(x)의 꼴로 표현하기 어렵기 때문에
위의 도함수를 굳이 x에 대한 식으로 나타낼 필요는 없습니다. 또한
역함수의 그래프 위의 점 (3, 1)에서의 미분계수를 구하고 싶으면
이 도함수에 y=1을 대입하면 됩니다.
4.의 의미
앞에서도 언급했다시피 함수 y=f(x)와 그 역함수가 y=g(x)가 모두 미분가능하면
이 성립합니다. 이 식에서 (x, y)는 역함수 y=g(x) 위의 점을 의미합니다.
만일 점 (a, b)가 역함수 y=g(x) 위의 한 점이라면 다음의 식이 성립하겠죠.
이때, g'(a)는 역함수 y=g(x) 위의 점 (a, b)에서의 접선 기울기,
f'(b)는 함수 y=f(x) 위의 점 (b, a)에서의 접선 기울기를 의미합니다.
따라서 위 식은 두 접선의 기울기가 서로 역수관계임을 의미하겠네요.
그럼 문제 하나 풀어봅시다.
이 문제는 2010학년도 9월 모평 가형 27번 문제입니다.
f'(a)와 g'(a)를 구하는 문제인데, 역함수의 도함수는 구할 필요가 없고
다음과 같이 를 이용해서 역함수의 미분계수만 구하면 됩니다.
(1) f'(a)의 계산
함수 f(x)의 도함수 으로부터
(2) g'(a)의 계산
g(a)=b라 하면 로부터
(3) 답 계산
g(a)=b로부터 f(b)=a이므로
이다. 이를 이용하면
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
언미영물2지2 91 88 1 45 45 지2 개 ㅅㅂ 1페이지에서 두개틀림
-
나도 더프볼걸
-
ㄹㅇㄹㅇ
-
기회 1번 중복 시 n분의 1 드립니다 참고로 전 고2 모고평균등급 3인 허수중에 허수임뇨
-
ㅅㅂ
-
오늘은 국수만
-
킥오프 기간 0
무휴학 반수생인데 하루에 2-3시간정도 수학 공부 가능합니다 작년 수능 기준...
-
응응
-
ㅋㅋㅋ 재수생들 뉴런 풀고 지인선 하고있는데 무슨 생활과 과학,여행지리,...
-
20 수능 양승진 개념코드 양승진 기출코드 쎈수학 기출 n회독 (30번빼고) 수특,...
-
20 수능 양승진 개념코드 양승진 기출코드 쎈수학 기출 n회독 (30번빼고) 수특,...
-
재수는 당연히 많고 사수 오수도 꽤 있는데 04가 거의 없어서 만나면 무조건 베프임
-
올해로 벌써 학교 못 간지 5년째 그냥 사람과의 대화가 그립다
-
롤재미없다 3
0/5/0
-
살려줘....
-
아직 배송 준비중이네
-
삼수는 엔지에요 엔지
-
지랄났노!
-
원래 작년도 뉴런 들었어서 뉴런 들으려 했는데 스블 평이 너무 좋아서...
-
외울게 너무 많은데 전공공부 어떻게 하시나요? 공부법 공유 좀 부탁드립니다.
-
짜증나네
-
김범준t가 치고 올라오시는데도 부동의 1타시네요!!!
-
물은 가끔씩만 주면 된다
-
소원이없겠네
-
개꿀
-
고작 수학 하나 봤는데 머리터질거같네 시험치신분들 오늘 하루는 푹쉬세요...
-
'나'라서
-
좆노답이라서
-
어느파트가 어렵게나오고 어떻게 어렵게나오고 같은것들 기조반영은 겁나잘함
-
3덮 국어 내놧 0
-
와 눈온당 8
3월인데 ㅋㅋ
-
보너스 점수 1점도 주도록
-
작년도 그렇고 요즘 수열 많이 나온다
-
드디어 신검 끝 3
선물로 건빵 받음 ㅋㅋ
-
엔제 실모 벅벅 복습 벅벅 하면 되는거냐? 안되면 책임지냐? 흐나아아
-
공통 15번틀인데 어케 풂?
-
내가 역사상 전례없는 최고지성임을 인정하라
-
캔버스 다 푸니까 프로모터 올라오고 프로모터 다푸니 어댑터 뜨네
-
다들 푸냐???
-
문장은 심판을 내린다 어쩌구 and 저쩌구..
-
흠... 생2 경제로 봐야겠다
-
같이가요
-
덮 3
케이스 분류형 문항이 참 많네요 난도는 낮아진거같은데 케이스 분류가 늘어난 느낌
-
3덮 풀어봄 4
공통은 다 맞아서 이따 후기나 써봐야지 미적은 28 30 못품
-
세포호흡 정복 완료 10
시쓰루산,옥시아섹트산 등등 이름 헷갈리는게 많긴하네
-
1시간 전에 밥 먹었는데 지금 배고파서 미치겠습니다
-
지맘애 안들면 아무말도 안하다가 기분 나쁜티 팍팍내면서 큰목소리로 어그렇게 해보라고...
라이프니츠 미분법의 장점이죠ㅋㅋdy/dx를 분수꼴(?)로 생각할 수 있다는!
그렇죠! 합성함수의 미분법(연쇄법칙), 매개변수로 표현된 함수의 미분법, 매개변수로 표현된 함수의 이계도함수, 더 나아가면 치환적분도 분수로 간주할 수 있구요~ ^^
감사히잘보고갑니다
감사합니다~~^^
명쾌합니다!!!
Dy/dx를 어떻게 읽죠? 디엑스분의 디와이거 아니라던데여
그냥 디와이디엑스 라고 읽으시면됩니당~