[열공수학] n등급 수학A형 유저를 위한 독학학습법2

안녕하세요

30점 - 열공 수학 입니다. (30점 부터 시작하는?, 30점을 올리는?)


어제 글을 쓰고 나니 생각보다 쪽지가 많이오네요.

(오늘자 칼럼을 쓰고 되도록 오늘밤 12시까지는 답신을 해드리겠습니다)


매일 올려드리고 싶지만, 칼럼 쓰는 것도 생각보다 어려워서

최소 1주일에 2번 정도는 올려드리려고 합니다.


오늘 할 이야기는 수학 기초가 없는 학생들을 위한

중딩수학, 수학(상), 수학(하) 공부법입니다.

수학 성적은 낮고, 수능은 얼마 안남은 것 같고,

EBS랑 기출문제랑 해야할 것은 많은 것 같은데

지금 중딩수학, 수학(상), 수학(하)를 하자니

그 전에 수능이 닥쳐올 것 같은 불안감이 드는 것은 사실입니다.


마치 스케이트 신는법도 잘모르는데, 왠지 동계올림픽 피겨대회 날짜가

다가오는 불안감과 비슷한 것일듯 싶네요...ㅎㅎ

일단은 스케이트를 신고, 얼음판에서 굴르고, 넘어지고,

좀 안정적으로 탈 수 있는 단계를 지나야

연기 연습을 할 수 있는 것처럼, 기본적인 내용은 알아야 수능시험을 보러 갈 수 있습니다.

물론 방법은 자유롭게 선택하실 수 있습니다. (수 I 을 먼저 시작하면서, 앞부분을 보충하는 식으로

가실 수 있구요...또는 앞부분을 먼저 해놓고 수 I 을 나가셔도 됩니다 - 뭘 선택하던 큰 문제는 없으나

중요한 것은 본인이 기초가 약하면 중딩수학, 수학(상), 수학(하)를 건너뛰면 안됩니다.)

단, 수학이라는 과목이 처음부터 한번 쭉 훓었다고 아는 건 아니끼 때문에

쭉 훓고, 꼭 외워야할 건 외우고, 2번째, 3번째 회독할때 이해의 정도를 올리시면 됩니다.

제 경험에 비추어 보자면 개념이라는 것은

예제나 기본문제를 풀면서 개념을 이해하고,

약간 난이도 있는 문제를 틀리면서 (어~ 왜 안되지? 하는 과정을 거치고)

개념이 정교화되는 부분이 있습니다. 수학 공부를 하시면서 자기가 정확히 모르던 것을

무언가 머리에 한대 맞는 것처럼 딱 깨닫는 경험을 하는 것 만큼 즐거운 일은 없습니다.


본인이 알고 있는 수학적 개념을 정교화 시켜나가는 과정이 반복될 수록

(여러분들이 공식이나 피상적으로 아는 것은 개념이긴 하지만, 본인의 개념은 아닙니다)

즉, 머리에 맞는 느낌, 머리가 번쩍하는 느낌이의(이건 그냥 공식을 적용시켰다가 틀려보고

깨달아보아야 아는 지점입니다) 횟수에 비례해서 본인의 수학성적은 향상될 것입니다.


각설하고, 수학 칼럼의 차례입니다.



1  3 ~ 5등급 수학 공부 어떻게 시작해야 하나? 얼마나 공부해야 하나?

http://orbi.kr/0004452101

2. 수학 기초가 없는 학생들은 무엇부터 해야하나?
  - 수학(상), 수학(하)에서 공부해야 하는 부분들

3. 정말로 세세하게 알려드리는 수학 공부량

4. 문제를 정확히 읽는법, 수학은 결국 케이스를 나누는 사고다.

5. 수학 I 공부해야 하는 내용

6. 미통기 공부해야 하는 내용

7. 수학 2등급 빨리 되는 법

8. 수학 1 ~ 2등급을 위한 전략

9. 6월 모평 대비법 (자 이제 6월 모평에서 2등급을 찍어보자)



또, 각설하고 다시 본론으로 돌아와서

(자꾸 이야기가 옆으로 세는데, 어제 쪽지가 한 10통쯤 왔었는데, 제 생각보다 수학성적이

 낮은 학생들의 공부법에 대한 문의도 있었습니다.

일단 제 칼럼은 5등급이내는 나오는 학생들 기준 - 그 기준은 대략 근의 공식은 알고

  2차 함수 그래프 정도는 무리없이 그리며, 기본적인 인수분해는 가능한 학생 수준이며,

그 이하의 학생들은 개별적으로 문의하시기 바랍니다.)


우선 중딩수학 관련해서 살펴보면,

중학교 수학은 중1 과정, 중2 과정, 중3 과정으로 나뉘는데

대부분의 과정이 고교 수학(상)에 겹치기 때문에

고교 수학(상)에 겹치지 않는 부분만 하시면 됩니다.

예를들면, 중2 때 배우는 도형 관련 내용
 
(삼각형의 성질, 원의 성질, 원기둥 부피 구하기 등등)

중학교때에는 거의 한학기를 배울정도의 분량이지만

지금 시점에 보신다면 2시간 정도면 다 보실수 있습니다.

(대신에 일일이 증명하는 연습을 하세요....

 중학교 수학중에 꼭 풀어야 하는 문제들은 정리해서 다음 칼럼때

 첨부파일로 올리거나 별도의 칼럼을 쓰도록 하겠습니다)

암튼, 꼭 알아야 하는 것은

삼각형의 성질, 사각형의 성질, 맞꼭지각?, 삼각형의 외각

도형의 닮음 (중학 수학과정에서는 도형의 닮음이 가장 중요합니다)

원주각은 중심각의 1/2이라는 사실

길이의 비와 넓이의 비, 부피의 비의 관계

원기둥 부피 구하기, 사각뿔의 부피 구하기, 구의 부피 구하기

3학년 2학기 때 배우는 피타고라스 정리,

원의 성질, 원과 직선, 원과 비례등이 중요하고

삼각비에 대해서도 정의를 기억해야 합니다.

직각 삼각형 (30,60,직각), 직각 삼각형 (45,45, 직각)

추가로 sin15도나 sin75를 삼각형을 이용해서 그리는 연습


그리고, 통계기준으로 표준편차 구하는 연습과 그 의미를 아는 것이

필요합니다. (편차가 작다, 크다의 기하학적 의미와 직관적 의미)


써놓고 보니 많은데, 실제 공부해 보면 2시간 분량입니다.

(참고 서적을 찾아보니 "중학 수학 16시간 만에 끝내기"라는 책이 있네요

저는 책의 저자, 출판사와는 아무 관계가 없습니다...ㅎㅎ

(대략 살펴본 바로는 도움이 될 것으로 보이며, 자기전에, 심심할때

 1번씩 읽으면 도움이 되실 것 같습니다.)



고1 수학(상), 수학(하)에서 알아야 하는 부분을 설명하기 전에

왜 우리는 수학을 포기하게 되었나 부터 생각해보죠


대체로 수학을 포기하는 시점은 여러가지 입니다.


첫번째 케이스는 인수분해에서 포기하는 학생들입니다.

인수분해는 산수로 따지면 구구단이고, 수영으로 따지면 발차기입니다.

수영을 배워보신 분들은 아시겠지만, 처음 자유형을 배우고 어느정도 할 때까지

수영장에 오면 매일 발차기 연습을 합니다.


사실 학생들이 수학을 포기하게 된 데에는 교육과정의 문제가 매우 큽니다.

또는, 왜 그것을 해야 하는가에 대한 논리적인 답변 부족의 지점이 있습니다.


예를들면, 인수분해라는 것은 식을 곱의 꼴로 두는 것입니다.

식을 곱의 형태로 두는 가장 큰 이유는 방정식을 일차식의 곱의 형태로 두어야

풀이가 편한 것이기 때문이겠죠.


중요한 것은 근의 공식이라는 일반적인 풀이를 사용하기 전에

가장 간단하게 2차 이상의 방정식을 푸는 것이 인수분해라는 사실을 안다면

인수분해가 그렇게 재미없지는 않을 것입니다.


다시 각설하고, 인수분해는 구구단처럼 자유자재로 하는 연습을 부단히 해야하는데

대부분 인수분해를 하는 이유를 모르기 때문에 지겨워서 포기하는 경우가 많습니다.

일단 현재 3~5등급 학생들에게 필요한 인수분해는 


1. 인수분해 파트는 정석 기준으로 -
 
대부분 가장 많은 학생들이 가지고 있는게 (보는 것은 아님) 정석이므로, 정식 기준 -

P.124에 보면 10가지 공식이 있습니다. 10번을 제외하고 대부분 아는 공식이므로

복습을 하시고, 정석 기준 P.125 ~ 137까지의 모든 내용은 반복 숙달 하세요

또한, 인수분해로 한번에 묶어서 기억해야 할 내용중에

두 일차식의 곱으로 인수분해 하는 내용이 있습니다.

(정석기준으로는 P.268 입니다)



2. 인수분해가 자유자재로 되면 7장, 8장, 9장이 있습니다. 

항등식, 나머지 정리, 약수와 배수 파트가 있는데,

이 3단원이 결과적으로는 같은 단원이라는 것을 알아야 하며,

나머지 정리 파트는 함수의 극한과 이어지기 때문에 좀 심화적으로

공부해야 합니다.


수학 공부를 잘하는 방법 중에 한가지는 미리 어떤 문제를 만나면

이렇게 푼다는 원칙을 정하는 것입니다.


예를들면, 인수분해 같은 경우는 다음 순서로 풉니다.

-  인수분해 (문자가 몇 개인지 본다 - 문자가 하나일때와 두 개 이상일때를 나눈다)

 

 

1) 우선 인수분해 공식을 이용한다. (만약 인수분해 공식에 없다면 2) 또는 3)으로

 

2) 문자가 여러개인 경우 차수가 낮은 문자를 이용하여 내림차순으로 정리한다.

 

3) 문자가 하나인데 3차식, 4차식인 경우에는

 

3-a) 복이차식으로 인수분해되는가? A2 - B2 꼴로 인수분해되는가?

3- b) 다항식  p(x)  에 대하여 p(a) = 0  을 만족시키는  a  의 값을 확인한다.
   조립제법을 이용하여 x-a로 나눈 몫과 나머지를 구한다.

    

  이런식의 원칙을 만들고 문제에 접근하면 됩니다.


나머지 정리의 경우 크게 3가지 유형의 문제가 나오는데

7단원 항등식

 

1) 항등식 문제가 나오면 가장 먼저 무슨 문자에 대한 항등식인가?

 

ex) a에 대한 항등식인가? k에 대한 항등식인가?

 

2) 항등식 문제가 나오면 (계수 비교를 할 것인가? 수치 대입을 한 것인가?)

 

 

 

8단원 나머지 정리

 

1) 모든 나머지 정리 문제는 기본꼴로 풀린다

(단, f(x)가 몇 차식인지? 나누는 수는 몇 차식인지? 나머지는 한 차수 낮아야 한다.

몫 즉, Q(x)가 1차식이라면 계수 비교로 풀 수 있으며, 아니면 일반적인 방법으로)

 

2) (x-k)2으로 나누는 경우 -> 대입할 것이 하나뿐이라면, 반드시 (x-k)로인수분해 된다.

따라서, 좌, 우변을 모두 (x-k)에 대한 식으로 인수분해하고, 나누고, 다시 k 대입

 

3) 기본문제 5번의 형태 ( 정석 - 수헉 상 기본문재 8-5 )

(x-3)로 나누었을 때 나머지 5

(x-2)2으로 나누었을 때 나머지 2x - 1

(x-2)2(x-3)으로 나누었을 때 나머지는? 일차식을 안으로 넣는다

 

9단원 약수와 배수

 

1) A = aG, B = bG  (a,b는 서로소)
2) L = abG
3) AB = ab GG = LG

 매우 중요! - 약수와 배수 문제는 안풀리면 더하거나 빼서 풀어야 한다

10장은 유리식인데, 부분분수 분해하는 문제는

수능에서 수열로 단골출제되는 문제입니다. (공식을 죽을때까지 까먹지 마세요)

1/AB = (1/(B-A) * (1/A - 1/B) 또한, 유리식은 연습문제까지 열심히 푸셔야 합니다.

반드시 수능때 도움이 됩니다.

무리식 파트는 이중근호 풀줄 알면 됩니다.


그리고 수학(상)에서 근과계수의 관계 기본적인 것만 아시면

나머지 뒷부분은 별로 의미가 없습니다.

물론, 부등식 파트나 절대부등식, 산술-기하는 중요하지만

결국, 수학(하)에서 함수의 최대최소, 도형의 방정식을 하고 와서 다시 보면

부등식은 사실 할 게 없습니다. 이차부등식만 풀줄 알면 됩니다.


수학(하)에서는 도형의 방정식이 중요합니다.

아래의 내용은 반드시 본인이 다른 사람에게 설명할 수 있을정도로 반복되어야 합니다.

(대체로 수학 70점대 학생들이 80점의 벽을 못넘는 이유는 아래의 내용을 정확히,
 
 자유자재로 하지 못하기 때문입니다.)

수학 (하) 정리

 

 

 

1. 두 점 사이의 거리

 

2. 내분점/외분점 - 무게중심

 

3. 중점 - 수직이등분선

 

4. 점과 직선의 거리

 

삼각형의 오심 + 삼각형의 넓이

 

5. 원의 방정식의 표준형, 일반형 (점 3개 주어진 경우)

직선의 방정식의 표준형 (기울기 구하고 y절편), 일반형 (점 2개 주어진 경우)

 

6. 원과 직선의 관계 - 직선과 곡선의 관계 (판별식이 중요하다. 거리관계 이용법)

 

7. 원과 원의 관계 - 두 원의 교점을 지나는 직선, 두 원의 교점을 지나는 원

 

8. 도형의 이동과 좌표축의 이동을 구분할 것

 

9. 도형의 대칭이동 (X축 대칭, y축 대칭, 원점 대칭,

y=x에 대해 대칭(역함수 관계), 직선에 대한 대칭 (수직이등분+중점이 직선위에)

 

 

10. 선형계획법 문제 풀이

 

11. 이차 부등식이 항상 > 0 인 조건 -> a>0, 그래프가 두둥실

 

12. 산술-기하에 대한 이해

 

최대-최소 문제는 1)이차함수형태 2)판별식(=k법) 이용할 수 없을 경우

 

무조건 산술-기하를 떠올려보아라~!

 

13. 최대-최소는 미분 배우면 1)미분 2)판별식(=k법) 3)산술-기하를 떠올려라.

위의 내용은 설명해야할 내용을 요약한 자료이고,

여기에 살을 덧붙여서 알아야 할 내용을 정리한 건 나중에

손으로 써서 사진자료로 올리도록 하겠습니다.


삼각함수부터는 다음 칼럼에서 이어서 하도록 하겠습니다.

(삼각함수는 한마디로 정리해드리면 수학A형에서 삼각함수는

 sin, cos, tan 그래프를 정확히 그리고, 2파이 까지 삼각함수값을 통째로 외워라 입니다)


함수파트에서 기억해야할 1가지는 미분을 배운 이후에

최대-최소 문제가 나오면

1. 미분해서 푼다 (미분 배우기전에는 이차함수 꼴로 고쳐서 최대/최소)
2. 식을 x+y=k 또는 그래프로 전환해서 판별식을 쓰거나
   만나는 조건으로 푼다.
3. 분수 꼴 형태가 나오는 느낌이면 산술-기하다

이 3가지중에 하나로 풀린다는 점을 기억하고 접근하면

훨씬 자신있게 수학문제를 풀 수 있을 것입니다.




오늘 말씀드린 내용을 정리하면 다음과 같습니다.

수학은 수영과 여러가지 측면에서 비슷합니다.

일단 "수"자로 시작하구요

발차기를 못하면 물에 뜨지 않는 것처럼
인수분해를 못하면 대부분 수학을 포기합니다.

8 * 5 = 40 이 왜 그런지 묻는 학생은 없습니다.
수학에서 반드시 외워야 하는 부분도 있습니다.
혹은 외우면 도움이 되는 부분이 있습니다.

예를들면, 인수분해, 1부터 21까지의 제곱 - 예를들면 324는 18의 제곱입니다.
2의 1승부터 2의 10승까지 2의 9승은 512입니다.
3의 5승까지 - 3의 5승은 243입니다.
상용로그를 기억하기 log5 = 1- log2, log 6 = log 2 + log3
직각 삼각형을 이용하여 특수각의 삼각함수값을 외우기

수학과 수영은 다른점도 있습니다.

수영은 몸에 체화시키는 것인데 반하여,
수학은 체화도 중요하지만, 왜에 대한 의문이 중요합니다.
즉, 위에서 언급했던 "아~ 이런거였구나~!"하는 깨달음을 얻지 못한 개념은
죽은 개념입니다. 수영은 기계적으로 연습하면 잘하지만
수학은 기계적으로 연습하면 잘하기 어렵습니다.





오늘의 내용을 정리하면 다음과 같습니다.
(사실 오늘 칼럼은 약간 중언부언 하는 느낌입니다)

수학(상)에서 열심히 해야 하는 부분

      

1번 - 3단원 - 실수체계

 4단원 - 정수 (제곱수를 외워라, 2의 제곱, 3의 제곱 외워라)

   상용 log를 외워라 (log5 = 1-log2, log6=log2+log3)

  2번 - 6장 ~ 12장

     특히 중요한 것은 6장 - 인수분해 + 두 일차식의 곱의 인수분해

8장 - 나머지정리

10장 - 유리식

 

3번 - 도형의 방정식 20장 ~ 24장 (기본적인 공식위주로 익힐 것)

 

* 삼각형의 성질, 원의 성질이 중요하다

 

4번 - 역함수의 개념과 최대-최소 (미분, 판별식, 산술-기하)

 

5번 - 삼각함수 기억하기 (그래프를 통해서 특수 각의 값을 기억하자)

 

삼각형 공식 기억 (넓이 = 1/2 ab sinA, 코싸인 법칙, 싸인 법칙)

      

6번 - 방정식, 함수, 부등식, 도형의 방정식의 연결고리 이해

 

공부순서는 3번, 2번, 4번, 5번, 1번, 6번 입니다.

 

 

그밖에 기타 Tip - 수학에 있어서 기억해야할 몇 가지

 

1) 조건이 중요하다. / 케이스를 나누는 능력이 중요하다.

2) 수열 문제에서 잘 모르겠을때에는 an = sn - sn-1 (n≥2)를 떠올려라.

3) 행렬문제는 1) A의 역행력 구하기 2) AB = BA인지 확인하기 3) 1,2 활용하여 풀기

4) 무한등비급수문제는

0) 미지수 잡기 1) 보조선 긋기 2) 초항 찾기 3) 공비 찾기 4) 무한등비급수 공식 구하기

5) 반복 연습해서 반드시 맞추어야 하는 문제가 있다. - 의외로 이 파트가 점수 밭입니다.

(대입해서 푸는 문제, 통계 문제, 그 밖에 행렬 문제, 수열을 이용하는 증명문제)

5) 공식의 경우도 원리에 기반해서 기억해라. 

* 매일 10분 ~ 15분 투자해서 본인이 공부한 수학 내용을 한장으로 정리하고,
 
  이 내용이 전체 수학 로드맵중에 어느부분을 차지하는지도 생각하자. 


* 결국 공부를 제대로 했다면,약 70여개 단원의 200여개의 개념 내용들이

  순차적으로 정리될 것이며, 2시간 정도에 이 내용이 정리된다면 기본은 된 것이다.

  (수학은 개념과 연습이 병행되어야 한다. 연습을 하면서 개념을 정리해 나가는 것.

   수영으로 따지면 팔을 휘저으며 발차기를 하는 것이다) 

* 마지막으로 수학A형은 2개월만 열심히 하면 3-4등급이 2등급으로 갈 수 있다.
  여기서 2개월은 공부시간이 어느 정도 이상 있는 독학 재수생 기준입니다.
 (수학 B형은 양이 많아서 2개월로는 부족하다. 최소 3-4개월? )


다음시간에는 수학A형에서 삼각함수 공부법과 수학 공부량 계획에 대해 말씀드리겠습니다.

(수학B형 학생은 삼각함수 이 방법 쓰면 망합니다)


P.S : 6시 30분 부터 쓰기 시작했는데, 밥먹고 다 쓰니 9시네요...ㅎㅎㅎ

        쪽지 보내신 분들은 10시까지 보내드리겠습니다.