간단한 수학질문..

Question

만약에 x^2 -4x -k > 0 인 부등식이 있고 
 정의역이 -1 < x < 1 인데 
 이차함수가 x축보다 큰거니까 판별식이 0보다 작다 이거 못쓰는거죠.. ?
전 그렇게 배웠는데 ..

근데 수학의 바이블에서는 
정의역이 위와 같고
식이 x^2 + 2x -a+2 은 0이 아니다 인데
이건 -1과 1 사이에서 x축과 만나지 않아야한다 라고 하면서 그래프를 두개그리는데 첫번째그래프는x축 보다 위에있으면 당연히 정의역 범위에서 그래프가 x축과 안만나니깐 판별식을 쓰던데..  

이게 두개가 차이가 있는건가요?

결론적으로 정의역의 범위가 주어진 이차부등식에서 판별식을 사용할수 있는건가요?

라마누잔 · Accepted Answer

판별식은 실수 전체 범위 내에서 그 방정식이 실근을 가지느냐 아니냐를 판별하는 식입니다. 만약 정의역이 제한되었다 칩시다. 그리고 그 식의 판별식이 0 이상이 나왔습니다. 그러면 그 방정식은 근을 가질까요? 그럴 수도 그렇지 않을 수도 있습니다. 왜냐하면 정의역의 범위가 제한되어 있기 때문에 판별식으로 있다고 판단된 그 근이 정의역 범위에 포함되느냐 마느냐에 따라 근 존재여부가 달라지거든요. 판별식이란 실수 전체에 대하여 근을 판별해 주는겁니다. 정의역이 제한된 경우에 사용한다는건 이런케이스 일겁니다. 판별식이 0보다 작다는걸 이용해 모든 실수 범위 내에서 이 그래프가 붕 떠있다는걸 보여주기 위함이죠. 그러면 제한된 정의역 내에서도 포함되니깐요.

라마누잔 · Answer

그렇기 때문에 판별식 자체를 사용한다는 개념보다 판별식이 0보다 작다를 이용한다는 개념이 맞는 말 일것입니다. 그러나 저는 개인적으로 위와 같은 경우는 (x+1)^2+k-1>0 꼴로 정리하여 그래프로 판단하는 것이 더 좋다고 봅니다.

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