미분황들께 질문.. (고교과정이상 일수도)
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이거 해결좀해주실분..
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2번이문제같음저는
알게되면쪽지좀해주세요
넹
2번은 샌드위치정리라 무조건 참아닌가요?
저도 그렇게 생각하는데
c가 x에 대한 함수? 조건? 느낌이면 맘대로 c에 대한 극한으로 바꿔도 되나 싶기도 하네요 진동하니까...
될거같아요 똑같은논리를 다른증명에서 본기억이나서.. 암튼 이따 시대인재 선생님한테 물어보고 이해되면 말씀드릴게요
존재하지않음?
아 안하는구나
이 함수는 x=0에서 미분가능한데 도함수는 불연속인 함수에요. 평균값 정리를 사용하지 마시고, 미분계수의 정의인 x->0일때 lim (f-f(0))/x = f'(0)을 사용하시면, f'(0)은 존재합니다. 그런데 x->0+나 x->0-일때 lim f'(x)의 값은 존재하지 않죠. 즉 0에서 미분계수는 존재하는데 도함수가 불연속입니다.
그건 알고있는데 저 증명이 왜오류인지가 궁금한거에용
f'(c)=f'(0)에 해당되는 c가 0+로 무한히 가까워진다고 해서 0+로 가는 극한이 f'(0)으로 수렴하게되는건 아니죠
lim x->0+ f'(x)가 진동하기 때문에 f'(c)=0인 어떤 c 가 (0,x)에 존재는 하되 이를통해 (0,x)에서의 c에 대해 f'(c)=0이라고 할수는 없잖슴
이해했습니다 감사합니다
굿
좀짜치게 표현하자면 만족하는 f'(c)가 유일하지 않을수있어 등호가 성립하지 않는다는것이군요
그런셈이죠 대략 -1에서 +1정도 까지 모든값이 다되니까 수렴의 정의에서 어긋나죠
정말 실례가 안된다면 질문하나만 더드려도될까요..
사진의 3번에서 f'(c)가 무한대로 발산한다면 만족하는 c가 존재 하지 않는것인데 그럼 평균값정리의 정의(적어도 하나 존재한다)에 어긋나는거아닌가요?
평균값정리의 성립조건인 열린구간에서 미분가능하고 닫힌구간에서 연속이어도 f'(c)에서 발산할수 있는것같아서..
이건 뭐가 오류인지 혹시 아시나요..
아니죠 평균값 정리에 의해 이를 만족하는 '어떤' c는 존재하는데, 이 "어떤 c"가 구간 (0,x) 전체에 대응되지 못하니까 수렴한다고 할수없는거구요
감사합니다
밑에 사과맥주님도 언급해주셨다시피 입-델 논법에 의거한 극한의 정의를 알면 좀 더 이해가 잘 되실거에요
좀 후려쳐서 설명하면
x->0+ 에서 f'(x)가 L로 수렴한다
<=> 00+일때 '모든 x'에 대해 f'(x)=L 이다
정도 느낌이거든요
2번이 문제가 아닐듯 싶음?
3번이문제였네요.. 해결했습니다!
2->3번 넘어가는 과정에서 반례가 존재할것 같네영
진동함수일때 좀짜치는표현이긴하지만 f'(c)값이 유일하지않아서 등호가 성립하지않아서 그런것이래요
안녕하세요! 저는 미분황은 아니지만... *^^*
아마도 강서율님의 진짜 질문은, 단순히 주어진 함수 f(x)의 도함수 f'(x)이 진동함수라서
f'(0+)=0이 성립하지 않는다 - 이걸 알고 싶으신 것이 아니라
'만약에 이 함수가 진동함수라는 사실을 모를 경우에도' 저런 함정에 빠지지 않을 수 있는지? 하는 걸 물어보고 싶으신 것 같아요~ (아닌가요! ^^;;)
위에서 전개하신 논리와 같은 함정에 빠지지 않으시려면
엡실론-델타 법에서 정의된 함수의 극한의 개념을 아셔야 하는데요.
x가 a에 한없이 가까워질 때, 함수 f(x)가 극한값 L을 가진다는 것은,
단순히 '변수 x를 a 주변의 열린구간으로 한없이 좁혔을 때, f(x)가 L에 가까워지는 <<어떤>> x값이 존재한다.'가 아니라
<<모든>> x값이 L 주변의 작은(?) 열린구간 안으로 모인다-는 뜻이에요.
하지만, 평균값 정리가 말해 주는 것은
0~x 사이의 <모든> f'(x)가 0에 가까운 값을 갖는다!는 것이 아니라,
0~x 사이에 f'(c)=0이 되는 <<어떤>> c값이 존재한다는 것이기 때문에
일반적으로, 평균값 정리로는 샌드위치 정리를 적용해서 함수의 극한을 구할 수가 없는 것이지요.
도움이 되셨을까요..??
감사합니다! 많은도움이됐습니다
그냥 미분황 하시는게....
그렇게 되면 지하에 계신 뉴턴 및 라이프니츠 선생님께서 오열을... ㅠㅠ
혹시 질문하나만 더 드려도될까요..
네! 하지만 어려운 질문은 안됩니다(단호)
누님 역시 대단하세요..
사진의 3번에서 f'(c)가 무한대로 발산한다면 만족하는 c가 존재 하지 않는것인데 그럼 평균값정리의 정의(적어도 하나 존재한다)에 어긋나는거아닌가요?
평균값정리의 성립조건인 열린구간에서 미분가능하고 닫힌구간에서 연속이어도 f'(c)에서 발산할수 있는것같아서..
이건 뭐가 오류인지 혹시 아시나요..
아 그거는, "발산한다"의 정의를 "(x가 정해진 값에 한없이 가까워질수록) 무한대로 간다"로 착각했기 때문이에요!
발산한다는 것은 "수렴하지 않는다"는 것이지 "양의 무한대/음의 무한대로 간다"가 아니랍니다
그리고, 이 "수렴하지 않는다"는 말을 위에서 말씀드린 엡실론-델타 논법에 적용시켜 보면
"발산한다(수렴하지 않는다)"
= 아무리 x=a 주변의 작은 구간을 잡아도, f(x)=L을 벗어나는 <<어떤>> L이 존재한다는 것이지 ('모든'의 반대는 '어떤'이죠)
x=a 주변의 모든 값이 L을 벗어나야만 발산이다~~라는 것은 아니에요.
다시 말해서, x= 0~d (d는 작은 양의 실수라고 할게요)라는 구간에서 평균값 정리를 썼을 때
f'(c)=0을 만족하는, 0과 d 사이의 어떤 양의 실수 c가 존재하지만,
그렇다고 해서 x->0으로 갈 때 f'(0+)가 발산하지 못하는 것은 아니에요.
왜냐하면, 0과 d 사이의 "어떤" c에 대해서만 f'(c)=0인 c가 존재할 뿐이지,
0과 d 사이의 다른 x값들에 대해서는 f'(x) 값은 온갖 난장판이 벌어지기 때문에
f'(c)=0을 만족하는 어떤 c가 존재한다고 해서,
d->0으로 보냈을 때 f'(0+)이 수렴하는 것은 아니에요.
결론적으로, 위에 강서율님이 말씀하신 문장에서는
"f'(c)가 무한대로 발산한다면 [f'(c)=0을] 만족하는 c가 존재하지 않는 것인데" 이 문장에 오류가 있어요!
f'(c)=0을 만족하는 c가 존재하더라도, f'(0+)은 발산할 수 있어요~
(예를 들어서, 수열 {a_n} = (-1)^n을 생각한다면,
n=짝수인 경우만 고려한다면 a_n = +1이라는 정해진 값만을 얻을 수 있지만,
그렇다고 이 수열이 발산하지 않는 것은 아니지요)
엡실론 - 델타 논법은 정말 오랜만이네요
와 이누님 아직도 여전하시네
미분계수와 도함수연속은 동일하지않습니다
도함수연속이 되면 미분가능한건 맞지만 그역은 성립하지않습니다