미분황들에게 미분가능성 명제하나질문..
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도함수좌우극한이 같고(존재), 원래함수가 연속이면 무조건 미분가능한가요?
직관적으로는 맞는것같은데.. 다르부정리랑 엮어서 아무리생각해봐도 증명을못하겠어요
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도함수가 연속인 것과 미분 가능의 차이는 우선 인지하셨나요??
도함수가 불연속이어도 진동이면 미분가능할수있는건 알고있습니다.
https://youtu.be/fI-sZ159k1A
다르부정리는 완전히 이해했고 제질문은 다르부정리 그자체에 대한것은아닙니다
연속인 거에 앞의 것이 걍 포함된 거 아인감
첨점은 연속인데 좌우도함수극한이 다르죠
아 앞에 '도'를 못봄 ㅈㅅ 어이업내
우극한도 똑같이하면됨
아 질문이 좀 다르네
미분 가능의 조건 : 연속 & 좌미=우미
미분계수가 같다는 도함수 연속 보다 큰 개념. 고함수 연속이면 반드시 미분 계수 같음 따라서 미분 가능
미분계수가 같다고해서 도함수가 연속이라는보장이없고, '고함수 연속이면 반드시 미분계수같다' 라는게 무슨말인지 모르겠네요, 그리고 첫줄보면 좌미=우미 안에 연속조건이 포함돼있지 않나요? (미분계수 수렴하려면 연속이어야함) .
애초에 제질문이랑 이것들이 무슨 연관이있는지도 모르겠어요.. 저는 미분계수에대해 물어본게 아니라
고는 오타고 도함수 연속이면 미분 계수 같다고 쓴거요. 미븐계수가 같은데 도함수가 불연속인 건 있지만 도함수 연속인데 미분계수 다른 건 없잖아요? 그럼 벤다이어그램 그ㄹㅕ보시면, 도함수 연속이 미분계수같다 에 포함되잖아요! 그 말은 도함수가 연속이면 미분계수 같다는 거고, 원래함수 연속+미분계수 동일-> 미분 가능의 정의이므로 이제 말씀하신 질문에 대한 답이 나온거죠. 도함수 연속-> 미분계수 같아짐 근데 원래 함수 연속?-> 미분가능의 정의. 따라서 참
그런데 제질문은 도함수 좌우극한이 같을때 인데 도함수 좌우극한이 같아도 도함수연속이 아닐수 있지않나요? 첨점같은경우가 그런경우잖아용 도함수연속이면 당연히 원래함수도 연속이겠지만 도함수 좌우극한이 같음이 도함수연속을 보장해주지는 않는거같아서
쉽게 말씀드리자면 애초에 미분 가능의 정의가 원래 함수 연속 + 좌우미분계수 잖아요? 근데 좌우 미분계수는 사실 극한값입니다. 정확한 한 포인트에서의 값이 아니에요. 그러니 질문애서 걱정하셨던 도함수 구멍 뚫린 형태에 대한 고민은 필요없다고 말할 수 있습니다. 그냥 도함수 연속이게 그려보시고 구멍뚫고 함숫값은 이상한데다가 찍는다고 했을 때, 그냥 연속인 거나 이상하게 생긴 친구나 적분은 동일하게 된다는거죠. 이유는 미분계수 자체가 극한값이니까
근데저는 원래함수가 연속일때 도함수에 구멍뚫고 함숫값을 '안찍는' 상황이 가능하냐에 대해 여쭤본거라..
구멍뚫고 점만안찍으면 그점에서의 미분계수는 논할필요가 없지않나요?
안찍는 걱도 마찬가지입니다,, 제가 한 말은 찍냐 안찍냐가 의미 없다는 거잖아요
함숫값을 아무데나 찍어도 적분은 동일하게 되겠지만 점을안찍으면 적분자체가 안되잖아요
아 첨점은아니고 그냥 부드러운함수에 구멍뚤려있으면 도함수좌우극같아도 도함수연속이 아닐수있는걸로 정정하겠습니다
그렇게 생각하고 답했어요 ..! ㅎㅎ
미분가능하면 도함수 극한이 존재할때, 그 값은 미분계수가 같아서 무조건 연속임
제 추론의 결론이 미분가능하다 인데 전제로 미분가능을 가정하시는건 순환논증의 오류아닌가요"?
제 답변 먼저 읽고 와주세여 :) 그리고 이게 답은 정해진 거라서 최대한 이해하려는 생각으로 봐주시길 부탁드려요..! 물론 틀린 부분은 꼬집어주시면 고맙겠습니다
넵
맞음 근데 미분가능할때 도함수가 한 지점에서만 빵꾸뚫리고 그 점에서 미분계수가 존재하는건 불가능하단걸 말하고싶었음
이걸 설명드리기가 어렵네요 ㅜㅜ
저는 원래 함수가 연속이면 도함수가 한지점에서 빵꾸뚫리고 그점에서 미분계수가 존재하지 않는상황이 존재할수있냐고 물어본것입니다.
그명제는 다르부정리에의해 참이라는게 너무자명해서 물어볼이유도없죠
정리하면 이거 아닌가요...
제가 기억이 가물가물하네요
이내용에대해선 정확히 인지하고있습니다.
증명은 제 능력 밖이네요...
그래도 덕분에 좀 많이 생각해보는 계기가 되었습니다
선생님 글씨체 현우진이세요?
수능에는그런거안나오므로난포기할래
아아 이것이 "수험생 커뮤니티"..
웅장해진다
미분계수-> 극한값이니까 도함수에 구멍 뚫으셔도 상관없어요… 우린 지금 리미트 근처로만 봐도 미분가능함을 증명할 수 있어요
그러니 아까 적분 못한다고 하신 것도 어차피 극한만큼 적분하면 되니까 상관없다는 뜻입니다
미분계수는 '원래함수'에서의 극한이고 그 극한값이 도함수의 '함숫값' 으로 나타나는건데 사실 도함수에 구멍뚫어도 상관없다는말이 잘 이해가 안가네요.. 제이해력이 부족한건지
이 부분 찾았네요. 여기가 잘못됐어요. 원래함수의 극한인 미분계수가 왜 도함수의 함숫값인가요. 엄밀히 하면 좌미분계수=도함수 좌극한/ 우도 마찬가지. 다만 우리가 미분가능한 함수를 정의하기로는 좌미=우미 니까 당연히 도함수의 극한값은 동일한 거고, 도함수의 함숫값은 미분가능과는 전혀 상관없단 겁니다
도함수의 함숫값이 미분계수 아님?
사실 결론은 그걸 말하려 하는데 전달이 실패했나봐요… 위 댓글은 무시해주세요
저게 인가요가 그렇지 않다는 게 아니라 왜 그런지를 생각해보자는 말투였어요
헉 좌미분계수가 도함수의 좌극한과 같다는식의 워딩은 제가 처음들어봐서.. 좌미분계수가 수렴할때만 성립하는 명제 맞나요?
미분계수 정의에서 도함수의 좌/우 극한 구하는 거랑
도함수의 좌/우 극한 구하는 게 같지 않을 수 있지 않은가요?
미분계수 정의에서 도함수의 좌우극한 구한다는게 무슨말이죠
이래서 님이 말한건 불가능하다고 결론지었는데 지적부탁드림
저사진이 말하고싶은 결론이뭐죠?? 제가말한 어떤말이 불가능하다는것에 대한건지 모르겠네요
님이 원래함수연속인데 도함수그점에서 빵꾸뚫린거되냐고 물어봤잖아요
뭐 막줄위에까진 알겠는데 미분가능하므로 c=h(a)는 무슨말이죠.
아 c=f'(a)
전 h(x)가 미분가능하다고 안했습니다 연속이라고 했을뿐
f가 미분가능하다는 전제하에 h가 연속이면 f=h이므로 h도 미분가능하다는 말인데
애초에 f가 x=a에서 미분가능하지 않은 함수이면 끝이 없긴 하네요
아니네 제가 맨 처음 올린 댓글 보시면 평균값 정리를 쓸때 x=a에서 미분가능을 전제하고 있지 않네요 도함수극한 존재하면 무조건 미분가능아님?
도함수극한 존재하면 무조건 미분가능한거 아닙니다.
왜요?
6가지 케이스중 첫번쨰케이스가 도함수극한 존재하는데 도함숫값에 구멍뚫린, 즉 도함수극한 존재하는데 미분불가능한 함수의 도함수임.
저런함수가 어떻게 존재하죠
제가 올린 첫번째증명에 도함수의 극한이 존재하면 좌우미분계수가존재하므로 미분가능하다.
즉 도함수의 극한이 존재하면 도함수는 연속이다.
로 평생 이해해왔는데..
간단히 첨점가지는 함수만 생각해도 저런도함수 나오는데용
첨점은 도함수극한이 안존재하죠
저 첫번째 케이스는 원함수가 불연속일때밖에 생각이 안나네요
첨점이 도함수극한이 왜 안존재하죠 ㅋㅋ 첨점이뭔지 모르시는거아닌가요
걍대충 x<0 일때 x^2 이고 x>=0일때 x이면 도함수좌극한=0,도함수우극한=1인데 ㅋㅋ
절댓값 x같은게 첨점 아님?
맞아요 y=절댓값x는 도함수좌극한=-1,도함수우극한=1인데용
아하 윗댓글 반례는 ㅇㅈ함
근데 도함수극한이 존재하면 미분가능하다라는게 참이라고 저는 주장중임
아니 ㅋㅋ 방금 도함수 극한이 존재하는데 도함수값이 안존재하는(미분불가능한) 함수를 보여드렸는데.. 그냥 미분개념이 잘안잡혀있으신거같아요 솔직히
님이 말한 함수는 도함수 극한이 존재하지 않는데요
아니 ㅋㅋ 절댓값x만봐도 x>=0에서 y=x니깐 도함수구하면 x>0에서 도함수는 y=1이고 0에서 우극한도 1인데 왜존재를안함
도함수 극한이 같다능것은 도함수의 좌극한=우극한 이뜻입니다
아 저는 좌우극한이 따로 존재한다고 하시는줄 제가 착각함.
그래요 지금 도함수 극한이 존재하면 무조건미분가능하다.. 라고 주장하시는데 이게 제가 본문에 올린 궁극적인 질문입니다 그이유가 뭐냐는거죠
제가 맨처음 댓글에 증명해놨는데요...
*정정 도함수극한이 존재하고 +원래함수 연속이면 무조건미분가능하냐가 제 궁극적인질문입니다. 원래함수 연속조건이 빠졌네요
원래 함수 연속안하면 도함수 극한 존재해도 미분불가능할수 있는데 뭘증명하셨다는거죠
예 불연속이면 도함수 극한 따질필요도 없죠
원함수연속이면 도함수극한 존재할때 미분가능하다 맞잖아요
그증명 다시한번 올려주실수 있음? 무슨댓글 말하는건지 모르겠음
집에 이제와서답변이 늦었는데용,
f(x)=x^2sin1/x (x=/0)
0 (x=0)
x>0에서 미분가능이고 [0,x]에서 연속이기에 평균값정리를만족 하는 이런f(x)가
님사진속 증명의 반례가되는데 저도 뭐가오류인지는 정확히 모르겠지만..
lim->a+ f(x)-f(0)/(x-0)=lim c1->a+ f'(c1) 에 위의 f(x) 한번대입해보세요 등식성립안합니다
좌우극한이 같으면 미분가능하다고 했지
미분가능하면 우극한이 존재한다고 한적이없습니다
? 저 식은 좌우극한을 가정하고 '도출하신' 식도 아니고 그냥 평균값정리가 성립하는상황에 대한 일반화식이라 반례가 있으면 아예 식자체가 성립하지 않을텐데요
극한이 존재할때를 전제해야죠
그걸 전제하는내용이 식에 어디 포함되어있죠?
님이극한존재할때 미분가능하냐고물으셨는데요
그걸 말로만 전제한다고 되는게아니라 식자체가 극한이 존재할때만 도출되어야 일반화가 가능할텐데요.
오 님말이 맞네요
그럼 진동하는 함수이면 b->a인 극한과 c->a인 극한에 차이가 있어서 그런것 아닐까요? 느낌상 그런데 자세한건 모르겠네요이제
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