다변수 미분 안 헷갈리게 풀기..(칼럼?)

Question

다변수 문제를 처음 풀 때 매우 헷갈리는게 있음

예를 들어 이런 식이 문제를 풀다가 나왔고 이 식을 미분을 해야 한다고 할 때

$eT14K3QrYStw$

뭐를 변수로, 뭐를 상수로 취급해야 하냐?

x에 대해 미분을 했을 때 t를 없애야 하냐? dt/dx라 써야 하냐? 많이 헷갈림..

이것을 판단 하는 것은 익숙해지면 별로 안어려움.

x에 대해 미분을 한다고 하면 x가 변하면 y, t, a, p가 변하는가? 에 대해 생각하면 됨

2020학년도 수능 30번을 예시로 가져오면

맨 처음 x,y 평면에서의 y=t^3ln(x-t)의 접선의 기울기를 구할 때 x에 대해 미분할 때는

x가 변하면 y가 변하나? -> 당연히 우변이 변하면 좌변이 변함 -> dy/dx 표시

x가 변하면 t가 변하냐? -> x가 t에 영향을 줄 여지가 없음 -> 상수 취급

그리고 관계식 두개(ⓐ,ⓑ)를 구하고 ⓐ를 t에 대해 미분할 때는

t가 변하면 p가 변하나? -> t가 변하면 접점의 좌표(p)도 당연히 변함 -> dp/dt 표시

t가 변하면 a가 변하냐? -> t가 변하면 당연히 a도 변함 -> da/dt 표시

이런 식으로 특정 문자가 변했을 때 다른 문자가 변하냐? 를 생각 하면

식을 미분할 때 그것을 상수 취급 할지 아니면 변수 취급 할 지 쉽게 구분할 수 있음

그리고 이런 형식 문제를 풀 때는 그냥 정해진 순서가 있음

1. 관계식 구하기

2. 관계식 미분하기

3. 관계식에 알고 있는 수치 대입하고

4. 관계식을 미분한 식에 알고 있는 수치 대입하기

이 순서로 그냥 웬만해서는 다 풀림

(위에 있는 2020학년도 수능 30번의 경우는 1,2 번만 해도 풀리는 경우)

예를들어 22학년도 6평 29번

파란색으로 묶어둔 게 관계식 구하는 과정임

x=k 에서 극대이니 f'(k)=0이므로 t*ln(k) = k^2 라는 관계식을 얻을 수 있음

그렇게 ①: 관계식 구하기, ②: 관계식 미분하기, ③: 관계식에 알고 있는 숫자(a, e^2) 대입하기, ④: 관계식 미분한 식에 알고 있는 숫자 대입하기

과정을 거치면 자연스럽게 답이 구해지는 것을 볼 수 있음

22학년도 6평 30번도 마찬가지로 풀 수 있음

곡선과 직선이 만나는 점의 x좌표를 p라고 하면 f(t) = sqrt(2) * (p+t)를 구할 수 있고

t가 변하면 p가 변하므로 t에 대해 미분 하면 p는 dp/dt로 표시 해줘야함

이 문제와 위 문제의 다른점은 ③단계에서 또 다른 값을 구할 수 있다 정도? 나머지는 그냥 똑같음

③단계에서 구한 숫자와 알고 있는 숫자(ln2)를 ④단계 때 대입 하면 dp/dt를 구할 수 있고 문제도 풀림

요약

1. 미분 할 때 특정 문자가 변했을 때 다른 문자가 변하냐? 생각

2. 문제를 풀 때는 다음 순서 기억

관계식 구하기→관계식 미분하기→관계식에 알고 있는 수치 대입→관계식을 미분한 식에 알고 있는 수치 대입

끝

물리키우기 · Accepted Answer

좋은 칼럼 고맙습니다. 
저는 오히려 문제에서 주어지지않은 변수를 직접 미지수로 두는게 어렵더라구요..
무튼 잘 봤습니다!

hoxyna · Answer

이 부분 이해 안 됐었는데 정말 감사합니다ㅠㅠ

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