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제로콜라 [408120] · MS 2017 (수정됨) · 쪽지

2022-01-09 13:36:58
조회수 53,197

시간을 줄이는 문제풀이 스킬, 함수 식 없이 함숫값, 미분계수 구하기

게시글 주소: https://orbi.kr/00042851516


영상이랑 아래 글 같은 내용입니다. 


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다항함수의 x절편을 알 때 함숫값, x절편에서의 미분계수를 빠르게 구하는 방법을 알아봅시다.

헷갈리면 굳이 안 쓰셔도 되지만, 알면 다항식을 세우지 않고 계산할 수 있어서 계산이 편리합니다. (특히 미지수 많이 설정해야할 때 유용하겠죠?) 마지막에 실전 문제에 활용하는 예시도 있으니 보시고 판단하세요.



f(6)=6×8×2를 6에서 x절편인 -2, 0, 4까지 거리인 8, 6, 2의 곱으로 볼 수 있습니다.




마찬가지로 f(3)을 x절편 -2, 0, 4까지 거리인 5, 3, 1의 곱으로 볼 수 있는데 4보다는 왼쪽에 있으므로 5×3×(-1)임에 유의합니다.

그런데 그래프상으로 f(3)이 음수인 것을 바로 알 수 있으니 부호를 (-)로 정해두고 -2, 0, 4까지 거리인 5, 3, 1를 곱한다고 생각할 수도 있습니다.

 



f(4)를 구해봅시다. 0이 중근이므로 0까지 거리인 4는 제곱을 해야합니다.

최고차항 a(a>0)로 두고 f(4)는 양수인 것 확인하고, 4에서 x절편 0, 2, 3까지 거리는 4, 2, 1입니다.

f(4)=a×4²×2×1입니다.

 





x절편에서의 미분계수도 편하게 구할 수 있습니다.

f(x)=x(x+2)(x-4)이면 f'(x)=(x+2)(x-4)+x(x-4)+x(x+2)에서

f'(4)를 구할 때 앞쪽은 (x-4)인수 때문에 0이 되므로 뒤쪽 x(x+2)만 생각하면됩니다.

이는 x절편 중 4를 제외하고 -2, 0까지 거리의 곱이므로 f'(4)=4×6입니다.

 



사차함수인데 x절편은 0, 2, 3이고 0은 중근입니다.

최고차항의 계수 a(a>0)일 때 f'(2), f'(3)을 구해봅시다. 그래프에서 f'(2)는 음수, f'(3)은 양수임을 알 수 있습니다.

x=2에서 0, 3까지의 거리는 2, 1이므로 f'(2)=-a×2²×1

x=3에서 0, 2까지의 거리는 3, 1이므로 f'(3)=a×3² ×1



2022학년도 수능 22번 문항에 이 내용을 적용해서 풀어보겠습니다.

 



g(t)는 [t, t+2]에서 f'(x)=0인 x의 개수입니다.

f'(x)=0이 되는 x값을 α, β라 할게요. (α＜β)

먼저 β-α＞2이면 [t, t+2]안에 α, β가 동시에 들어오지 못하여 g(t)=0 또는 g(t)=1입니다. 그런데 (나) 조건에서 t=f(1)일 때 g(t)=2이므로 모순입니다.

 



다음으로 β-α＜2이면 위 그림에서 g(t)=2입니다. 이때 함숫값, 좌/우극한 모두 2가 됩니다. 따라서 (가) 조건에서 좌/우극한의 합이 2이하라는 조건에 모순입니다. 따라서 β-α=2, 즉, β=α+2이죠.


 



이때 g(t)는 t=α일 때만 함숫값이 2입니다. 그런데 g(f(1))=g(f(4))=2이므로 f(1)=f(4)=α입니다.

f(1)=f(4)임을 이용하여 α의 값을 구해볼텐데, 오늘배운 함숫값 구하기 내용을 적용해볼게요.

x축이 없지만 그림에서 주황색으로 표시된 y=f(α)를 x축처럼 생각할게요.

(어차피 f(1)=f(4)임을 따질 때는 y=f(x)를 위아래 마음대로 평행이동해도 되므로 x축을 아무렇게 설정 가능)

x절편이 α, α+3인데 α는 중근이므로

(α-1)²×(α+3 -1) = (α-4)²×(α+3 -4)이며 이를 풀면 α=2 또는 α=1입니다.

 





α=2인 경우를 먼저 볼게요.

이때 f(0)의 값을 구해보겠습니다. 그림에서 주황색으로 표시된 y=f(1)를 잠시 x축으로 설정하면 x절편이 1, 4(중근)입니다. f 최고차항 계수 1/2이고 f(0)은 임시 x축보다 아래에 있으므로 (-) 붙여서

f(0)=-1/2×1×4²이 되는데, 우리가 지금 f(1)=0으로 생각하고 구한 거잖아요. 원래 f(1)=2이므로 +2 해주어야합니다.

따라서 f(0)=-1/2×1×4² +2 = -6이 됩니다.

그러면 g(f(0))=g(-6)이고 [-6, -4]에서 f'(x)=0인 x가 없으니 g(f(0))=0입니다. 이는 (나) 조건에 모순입니다.

 




따라서 α=1인 경우가 정답이 됩니다.

이때 f(0)의 값을 구해보겠습니다. 마찬가지로 그림에서 주황색으로 표시된 y=f(1)을 잠시 x축으로 설정하면 x절편이 1(중근), 4입니다. f 최고차항 계수 1/2이고 f(0)은 임시 x축보다 아래에 있으므로 (-) 붙여서

f(0)=-1/2×1²×4이 되는데, 우리가 지금 f(1)=0으로 생각하고 구한 거잖아요. 원래 f(1)=1이므로 +1 해주어야합니다.

따라서 f(0)=-1/2×1²×4 +1 = -1이 됩니다.

그러면 g(f(0))=g(-1)이고 [-1, 1]에서 f'(x)=0인 x가 x=1 하나 있으므로 g(f(0))=1입니다. 이는 (나) 조건을 만족합니다.


답이 되는 경우이죠. 이제 f(5)구하면 끝입니다. 위와 같이 y=f(1)을 x축으로 생각한 후 +1 해주면 되겠죠? x=5 대입하면 y=f(1)보다 위쪽이니까 (+)를 붙이면 되고

f(5)=1/2×4²×1+1=9입니다.


따라서 정답은 9

 

 

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