수능에 고1 수학이 나와? 응 나와~(수능을 위한 직선의 기울기 해석 방법)

영상이랑 아래 글 같은 내용입니다. 

보시고 도움 되시면 좋아요/구독(팔로우)/댓글 남겨주시면 큰 힘이 됩니다.

고1 수학 내용 중 직선의 기울기는 자주 사용됩니다. 

처음 배운 정의 뿐 아니라 삼각비, 닮음, 직각삼각형 등 다양한 의미로 해석하고 통합하여 사고할 줄 알면 문제 풀이가 쉬워집니다.

알고 있어야하는 기본적인 내용 먼저 정리해볼게요, 

기울기의 정의는 (y증가량)÷(x증가량)입니다. 

증가량이라고 하지만 음수가 될 수 있고,

y=mx+n의 기울기는 m이 됩니다. 

x증가량과 y증가량의 절댓값만 생각하면 가로와 세로, 밑변과 높이로 보면

기하적으로는 직각삼각형을 떠올리는게 자연스럽습니다. 

직선 위의 임의의 두 점에 대하여 기울기는 일정하므로 여러 직각삼각형이 나올 수 있고,

tanθ가 기울기 m이 됩니다.

자 그럼 어떤 식으로 해석하면 좋을 지 알아볼게요. 

1. 기울기와 직각삼각형

아까 말했듯 기울기의 정의에 의해 직선 위의 두 점을 빗변의 양 끝점으로 갖는 직각삼각형을 떠올리는게 자연스럽습니다. x증가량과 y증가량의 절댓값이 각각 밑변과 높이가 되죠. 다양하게 생기는 직각삼각형들이 모두 닮음입니다. 특히 소자로 생긴 직각삼각형의 닮음도 자주 사용됩니다.

2. 닮음과 삼각비

직각삼각형이 닮았다면 삼각비를 떠올리셔야죠. 

기울기알면 m=tanθ이니까 tan 값을 구할 수 있구요. 이를 이용하면 sin, cos 값도 구할 수 있습니다. 

3. 선분 길이 비

삼각비를 알면 선분 길이 비 그러니까 밑변, 높이, 빗변 길이 비율을 알 수 있죠.

특수각인 경우 1:1:√2 또는 1:2:√3 비율이 되구요.

특수각이 아니더라도 기울기가 2, 3이면 1:2:√5, 1:3:√10 등 비율이 되겠죠. 

4. 그리고 마지막으로 수직인 두 직선 기울기 곱 -1인건 당연히 알고 계셔야합니다.

2021학년도 고1 9월 10번

실전에 적용해볼게요. (3, 1) 지나는 직선을 y=m(x-3)+1로 놓고 판별식 쓰거나 중심에서 직선까지 거리가 반지름 길이 같다고 하는 것은 당연히 알아야 할 풀이이나 다른 풀이를 강조하고 싶습니다.

아래 그림에서 중심 (0, 0)에서 접점 (3, 1) 잇는 반지름(파란색)을 빗변으로 하는 직각삼각형 생각해보면 3:1:√10 비율입니다. 이 닮음비를 이용하면 바로 y절편이 10=√10×√10임을 알 수 있습니다. 

2021학년도 고1 9월 17번

중심 C라 할게요. RO, PS의 길이(파란색)가 같으므로 삼각형 ROC, PSO는 합동입니다. 

직선 기울기가 2이므로 1:2:√5 비율의 직각삼각형입니다. 

그런데 이등변 삼각형 PSO는 밑변의 절반은 길이가 2구요. 

따라서 보라색 길이는 √5가 되며 중심의 y좌표가 √5입니다.

마찬가지로 이등변 삼각형 PSO의 높이 노란색은 길이가 1입니다.

이등변 삼각형 ROC의 높이도 1이므로 중심의 x좌표가 1입니다.

따라서 중심에서 원점까지의 거리는 √6입니다. 

2021학년도 고1 3월 14번

삼각형 ABC의 넓이가 16인데 4등분하면 

OA를 빗변으로 하는 직각삼각형 넓이는 4가 됩니다.

기울기가 -1/2이므로 2:1:√5 비율의 직각삼각형입니다. 

밑변 2k, 높이 k라 하면 넓이가 4이므로 k=2입니다.

따라서 A좌표는 A(4, -2)이고 y=a/x에 대입하면 a=-8입니다. 

2021학년도 고2 9월 20번

다 풀진 않고 좌표 놓는 연습만 해볼게요. B 좌표를 (m, n)라 했을 때 A, C좌표를 놓을 줄 알면 됩니다.

그 이후는 교점이므로 대입해서 연립만 하시면 되어요. 

기울기 1/3이고 수직이므로 다른 직선 기울기는 -3입니다.

선분 AB, BC를 빗변으로 하는 직각삼각형은  3:1:√10 비율입니다.

그런데 AB, BC 길이가 √10이고, 밑변과 높이가 3, 1이 되는 것이죠. 

따라서 A(m-3, n-1), C(m+1, n-3)라 할 수 있습니다. 

2022학년도 수능 9번

직선 기울기 2인데 선분 PQ 길이 √5이므로 

PQ를 빗변으로 하는 직각삼각형은 1:2:√5이죠. 

따라서 P(a, b)라 하면 Q(a+1, b+2)입니다. 

지수함수에 P좌표 대입하면 b=(2/3)^(a+3) +1, Q좌표 대입하면 b+2=(2/3)^(a+2)+8/3입니다.

연립하면 a=-2이 되어 P(-2, 5/3)이고, 이를 직선 y=2x+k에 대입하면 k=17/3입니다. 

2022학년도 수능 13번

y절편을 ★이라 하면 두 직선의 교점은 (0, ★)이 됩니다.

x값이 a부터 b까지 변할 때 y 증가량을 생각해보시면

기울기는 m₁ = (log₂b-log₂a)/(b-a),  m₂ = (log₄b-log₄a)/(b-a)에서 분모는 같고 분자가 두배이므로 m₁=2m₂입니다.

다음으로 x값이 0부터 a까지 변할 때 y증가량을 생각해보시면

m₁ = (log₂a-★)/a, m₂ =  (log₄a-★)/a 인데 분자가 두배가 되어야하므로 

2×(log₄a-★)=(log₂a-★) 즉, ★=0입니다. 따라서 y절편은 0 즉, 두 직선은 원점을 지납니다.

(0, 0), (a, log₂a), (b, log₂b)이 한 직선 위에 있으므로 log₂a/a = log₂b / b이고 변형하면 a^b =  b^a입니다.

f(1)=a^b +b^a = 40이므로 a^b = b^a =20입니다.

따라서 f(2)=20^2 +20^2 = 800입니다.