수리논술: 직관적인 내용을 엄밀하게 서술하는 연습!
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안녕하세요 여러분!!
우선 오늘 드릴 말씀은, 다소 딱딱하게 느껴질 수도 있는 점 감안해 주시고
혹시 오늘의 글이 재미없다고 느껴지더라도
'에이...다음번부터는 저 할매 글은 읽지 말아야겠다.' 하지는 말아주세요ㅠㅠ
다음부터는 좀 더 많은 분들께 도움이 될 수 있는 글로 찾아뵐 테니까요...!!
시간 없는 분들을 위해서 두괄식 요약 해드릴게용
(1) 등차수열도, 등비수열도 아닌 괴상한 수열은 대부분 주기수열이라는 건
수능에서나 경시에서나 통하는 불변의 진리입니다.
왜? '수학은 패턴을 찾는 학문이니까'!!
(2) 관찰을 통해 발견된 내용을, 문자와 식으로 엄밀하게 서술하는 연습을 하면
나중에 수리논술 준비에 많은 도움이 된답니다.
(단, 직관에 의존하는 최근의 수능 트렌드에는 오히려 독이 될 수도 있어요!)
오늘은 수열 문제를 하나 보여드리려고 해요. (2020 KMO 고등부 2차, 5번이에요)
우선 아래 풀이를 보지 말고 답을 구해 보시길 바래요! 정말 직관적으로 구할 수 있거든요.
쉽게 풀어서 말씀드리면,
“모든 항이 자연수이고, 모든 항이 값이 서로 다른 수열 a(n)이 있다.
a(1) = 1, a(n) = 2000이고, 각 항의 공차는 -3 또는 5이다.
수열의 항을 최대로 늘렸을 때 n의 값은?” 이런 문제에요.
한번 a(1)부터, a(2), a(3), a(4),... 가 서로 다른 값을 가지도록,
그리고 그 사이에서 최대한 많은 양의 정수들을 찍고 지나가도록, 직관적으로 늘어놓아 볼게요.
1, 6, 3, 8, 5, 2, 7, 4, 9, 14, 11, 16, 13, 10, 15, 12, 17,…
그런데 우리, 수능에서도 등차수열도 등비수열도 아닌 경우에는
보통 주기를 가진 수열로 답이 나오지 않았나요?
이 문제에서도 마찬가지로, 주기가 8인 주기수열이 관찰됩니다:
{1, 6, 3, 8, 5, 2, 7, 4}, {9, 14, 11, 16, 13, 10, 15, 12}, {17,… } ....
이렇게, 주기 8을 기준으로
모든 양의 정수들을 하나씩 빠짐없이 찍고 지나오는 방법이 존재하네요.
그러면 이렇게 계속 올라오다 보면,
마지막에는 {1993, 1998, 1995, 2000}까지 올라오겠죠?
아마 이 수열이 답이 되지 않을까 싶네요!
이제 남은 일은, 어떻게 이 방법이 n을 최대로 하는 방법인가 하는 것을
수학적으로 엄밀하게 서술할 것인가 하는 문제만이 남았어요.
한번 각자 최대한 서술해 보시고 나서, 아래의 풀이를 확인해 보시면 좋겠어요.
저도 제 서술이 얼마나 논리적인지는 장담을 못하겠어요!
(저도 KMO에서 수차례 고배를 마신 사람이라는 걸 상기해 주셔요 ㅋㅋㅋ)
일견 복잡해 보이지만,
'각 항이 음의 정수가 나타나지 않으면서, 모두 다르려면,
8번 중에서 공차 5가 네 번, -3이 네 번 번갈아 가면서 나타나야 함 ㅋㅋ'
이거를 최대한 논리적인 비약이 없이 서술하고자
a(n), b(n), c(n) 같은 다양한 변수들이 등장하는 것뿐이에요.
(그래서 문제집을 풀 때도, 해설지만 읽으면 도대체 이런 생각을 어떻게 했나 싶지만
좋은 선생님이 옆에 붙어서 설명해 주시면 쏙쏙 이해가 되는 것이지요.)
풀이보다는 정확한 답을 요구하는 수능이라는 시험을 앞두고 계시는 분들께
논리적 엄밀성을 키우라고 부탁드리는 건 조금 무리일 수 있겠지만,
일찍부터 명문대의 꿈을 품고 눈팅하고 계시는 중학생/고등학교 저학년생 분들께는
저런 증명 문제라고 해서 막연히 두려워만 하지 마시고, 한번 부딪쳐 보라고 말씀드리고 싶어요!
실제로 직접 보니까... 수능문제랑 크게 다르지 않지 않...으세요? ㅎㅎ
등차수열도 등비수열도 아니면 주기수열이거나, 아니면 꼭 주기수열은 아니라도 패턴이 명확하다는 거...!
그리고 이러한 관찰에 의해서 답을 얻은 것에 만족하지 않고,
이것을 수학적인 언어로 풀어내는 과정에서 논리적인 사고력과,
비약을 허용하지 않는 마음가짐이 생기는 것이거든요.
다만 이러한 논리적 정합성은, 평소에 집에서 키우셔야 하고
내신이나 수능 시험에서 이런 거 따지고 계시다가는 큰일납니다...
시간 안에 다 못 풀고 등급 내려앉는 수가 있어요
(실제로 저도 수능 앞두고는 너무 논리적으로 따지고 들어가는 습관을 일부러 버리려고 노력했었어요!)
그래서 오늘 드리고 싶은 말씀을 한마디로 요약하면
(1) 겁먹지 말고 도전하고, (2) 관찰하고, (3) 서술하자!!
오늘 글은 너무 딱딱했죠? 문제도 하필이면 수열이고 ㅠㅠ
다음번 글은 좀 더 많은 분들께 피부로 와닿을 수 있는 테마로 찾아뵙겠습니다
그럼 모두들 좋은 저녁 시간 되셔요~!^^
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오..안 그래도 요즘 수리논술 고민 중이었는데..감사합니다! 잘 볼게요
오! 꼭 좋은 결과 있으시길 바래요 ^^
저도 언니처럼 수악황이될래요칼럼 매번 잘 읽고있어요 (_ _)
제가 수학황이었으면 일반고를 갔겠읍니까! ㅠㅠ
항상 잘 읽고 있습니다 이번년도 논술 볼까 생각했는데 좋은 글 감사합니다
감사합니다!! 다음부터는 더 좋은 글로 찾아뵐게요~~
수학황 눈나 팔로우 할래여닉네임이 참 아름답네요!
"저 할매글은 읽지말아야겠다..."왜 자조를..
ㅋㅋㅋㅋ 아니 글을 다 써놓고 퇴고를 하는데 너무 재미가 없는거에요...ㅠㅠㅠ
좋은글 감사합니다.
행복한 크리스마스 보내세요 누님!!
고마워요! 약대생님도 메리크리스마스~!!
서릐생은 다 이러케 똑또칸가요
평균적으로 저보다 100배 정도입니당
헐.
항상 존경합니다 이모
Thanks!!^^
어질어질하네요
일단 스크랩했어요내일 읽어볼게요!
크리스마스 이브까지 감사합니다 :)
크리스마스 이브라 그런지 조용하네히히 나두 내일은 남편이랑 애기랑 뽀로로파크 놀러 갈꺼다!
저랑 동갑인 뽀로로형님...언제나 아이들의 대통령이시져..ㅋㅋㅋ실제로도 아가~ 애기~ 라고 하시나욥!?
네! ㅋㅋ 아직 애기니까요
스윗하네용><
저도 잘하고 싶어요 ㅠㅠ 열심히 하겠습니다 언니 항상 시간내서 유익한 글 써주셔서 감사합니당고마워용!!^^ 많이 부족하지만 다음번엔 좀더 재미진 글로 찾아올게용
늘 감사합니다 ㅎㅎ 메리 크리스마스 입니다 !
멋져요 누나수열에서는 일단 해보자 태도가 중요한것같아요
올해 수능 21번만 봐도...사실 이게 뭔가 싶었거든요 시험장에서는...
'뭐여 이게. 이거 수능 맞아? 경시아냐?' 이런 생각 들긴했는데...뭐 일단 맞히면 장땡이니...ㅋㅋ
그쵸 ㅋㅋㅋ 근데 일단 달겨들면 풀린다는거... ㅋㅋㅋ
우리언니(于里言尼) 개귀여어(凱歸蠡魚)하고풍거(河鼓風去) 삭다해라(削多海蘿)
매일이론(每日理論) 덕후마음(德厚馬音)
주접이라(主楪伊亽) 할지라도(轄地羅道)
좌로인정(左虜人正) 우로인정(右虜人正)
압구루기(狎鷗漏器) 대굴대굴(大窟大窟)
앗♡♡♡너무 부끄럽자네 파랑이...
누님 글은 항상 가독성이 좋고 재밌어요.(어렵지만, 그건 내가 부족한 거니깐...) 나도 글 잘 쓰고 싶당..앗 고마워요... ㅋㅋㅋ 항상 시간에 쫓겨서 쓰느라 (애기가 뽀로로 보여달라고 하면 끝이기 때문에) 두서가 없는데... 독해력이 좋으신것같아요 +_+
Tmi) 뽀로로는 처음 만들어질때, 남한과 북한이 협력했던, 문화협력의 대표적 사례입니다.(북한에선 아쉽게도 방영이 되진 않았었다네요)
그때 응애들 뽀로로 참 좋아하죠...
제가 애를 키우는 입장이었으면 쟤가 밥을 주기를 해 기저귀를 갈아주기를 해 \ _ / 했을것 같은데
저희 보시면 아시겠지만 그래도 그때가 제일 말 잘듣고 사랑스럽고 이쁜 때인거 같아요
아이의 죄를 용서하시고, 많이 사랑해주시고, 사진 많이 찍어두세요.
그리고 마지막으로 행복한 하루 되세요! ^^
어무니 나 좀 있으면 원서접수기간인데 좀떨려.. ㅠ 가고싶은과 갈수있게 응원좀
으앙 정시구나... ㅠㅠ ㅠ넘 떨리겠다... 좋은 결과 있길 바래요!!
이 문제 보니까 이거랑 비슷한 느낌이 드네요
3L, 5L짜리 물통과 충분한 부피를 가진 물통으로 11L 를 만들어라
3L의 물을 5L 물통에 붓고,
다시 3L를 채워서 5L가 되게 하면
3L의 물통에는 1L 가 남고,
5L 를 두번 다른 물통에 부으면 11L 가 된다.
+a -b (a, b는 서로소인 자연수)라는 연산으로 모든 자연수를 구할 수 있는지 일반화 해보고 싶은 생각이 드네요
정말 소름돋게 좋은 지적이라는 생각이 들은 게...!!
제가 이번 글에서 쓸까말까 했던 내용이
"숫자가 클 경우에는 (1) 숫자를 줄여서 규칙성을 찾거나 (2) 그 숫자가 특이한지 살펴보라"는 것이었는데
제가 이 문제를 처음 접근할 때, a(1)=1, a(n)=11일 때 n을 최대 얼마까지 늘여 볼 수 있는지?를 먼저 고민했었거든요.
그리고 어렸을 때부터 다양한 수학적 문제를 접하는 것이
나중에 어떤 문제와 부딪히더라도 과거의 경험으로부터 비슷한 문제를 끄집어 낼 수 있는 힘을 주는 것이라고 생각해요
아, 그리고 서로 소인 자연수 a, b에 대해서는,
ax-by = 1을 만족하는 (역시 서로 소인 자연수) x, y가 반드시 존재한답니다.
유클리드 호제법의 원리와 연관되기도 하고, 그 증명이 정말 아름다워서 아직까지도 기억에 남아요...
혹시 인터넷에 있는지 찾아봐드릴게요.
아, 그리고 서로 소인 자연수 a, b에 대해서 ax-by=1 인 자연수 x, y가 존재한다면
a(nx)-b(ny)=n으로 모든 자연수 n을 만들 수 있겠죠 ^^!
유클리드 호제법.. 중1때 어렴풋이 배웠던 것 같아요
큰 자연수 나누기 큰 자연수 계산을 빼기로 쉽게 했었던 그런거였던 것 같은데 초등학교 내용이려나요 ㅋㅋ
7차 교육과정 때는 중1 내용이었어요 ! ㅋㅋㅋ
오 제 기억이 맞네오
https://namu.wiki/w/%EB%B2%A0%EC%A3%BC%20%ED%95%AD%EB%93%B1%EC%8B%9D
여기에 증명이 있네요! 역시 요새는 너무 좋은 세상이라니까요~
머리가 빙글빙글 도는데.. 쨋든 d=1 인 특수한 경우라는 거네요..!
이 이모티콘 항상 써 보고 싶었어요 ㅋㅋㅋㅋ저 증명에서, 가능한 모든 {ax+by}의 집합들 중에 최소값을 상정한다는 아이디어가 아름답지 않나요...??
흔히 경시 수학에서 "조합론"이라고 부르는 부분이
교과 과정에서 확률과 통계, 경우의 수뿐 아니라
저런 극단성 원리(특정 집합의 최대/최소값을 상정하고 귀류법을 사용해서 증명하는 방법), 비둘기집 원리, 대칭성 원리 등을 이용해서 문제를 기발하게 풀어내는 분야랍니다
전 교과수학만 해봤기도하고.. 집중할 컨디션이 안돼서 증명을 다 머리로 납득하지 못했지만.. ㅠㅠ 아름다운 건 알겠어요..!
의학얘기도 듣고싶어요 선생님 ㅋㅋ
네! 나중에 기회가 되면 국시를 앞둔 본4 선생님의 뇌를 refresh할 만한 이야기도 가져와드릴게요~~~
이제 한 2주 남으셨겠네요! 올해도 광진구 쯤에서 시험 보시나요?
아 실기는 거기서 봤었고
필기는 지방에서 볼 것 같아요!
방금 왜 이게 유클리드호제법이랑 연관이 있지 생각해봤는데
서로소면 a, b끼리 서로 무수히 나누다보면 결국 남는 나머지는 최대공약수인 1이라서.. ㄷㄷㄷ 아름답따..
수학은... 아름답읍니다...
그래서... 그 아름다움을 너무 일찍 발견한 천재들은... 일찍 죽은것이야...
눈나 너무 멋져요