f(x)가 연속함수이고 f(a)>0, f(b)<0일때
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x=c~x=d까지의 정적분이 0이도록 하는 서로 다른 c,d가 존재한다는걸 어떻게 증명하는가?
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사이값이랑 정적분에의한평균갑정리?
구체적으로 설명해주실수있나요
1. If F(b)-F(a) = 0 : Ok
2. Else: WLOG F(b)-F(a) >0
3. Let G(x) = F(x)-F(a)
G(b1)=F(b1)-F(a)<0 by IMVT
G(b) = F(b)-F(a)>0
So, By Ivt, Exist.
b1 = a에 가장 가까운 f(x)=0인 점 (사이값 정리에 의해 존재성 보장됨)
F(x) = f(x)의 임의의 부정적분
근데 이거 c, d가 (a,b) 안에 있어야 하나요
이거 올해 꿀모중에 ㄱㄴㄷ 문제로 있었는데 직관적 풀이랑 수식 둘다 보여줬었는데 기억이 안나넹
다른 풀이
1. f(x)가 구간내에서 증가하면서 사이에 f(c)=0인 x=e를 포함하는 구간 (c1,d1)를 잡는다.
2. Then, 증가함수의 정의에 의해 (c1,e)에서 f(x)<0, (e,d1)에서 f(x)>0
3. By IMVT, F(d1) - F(e) >0, F(e)-F(c1)<0
4. If F(c1)=F(d1) : c=c, d1=d로 찾음.
5. Else : WLOG F(c1)>F(d1)
F(x)는 연속이고 F(c1)>F(d1)>F(e)이므로 F(g) = F(d1)이고 c1<g<e인 g가 존재한다. By IVT
Then, g=c, d1=d로 찾음.
1을 증명하겠다.는 안 될 것 같은뎅…. 진짜 이상한 특수 함수 만들면 저 구간 못 잡을 수도 있을 것 같네요.
입실론 델타 논법에서 임의의 델타에 대해 x-a의 부호를 (a,a+델타) 범위 내에서 하나로 정할 수 없는 특수함수도 있나요?
x-a의 부호요?
아앗 잘못 말했네요
f(x) - f(a)요