간단한 수학명제 하나질문

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'어떤함수를 알려진미분법 (합성함수,삼각함수미분법등) 으로 미분한 도함수가 정의되는범위에서 그함수는 미분가능한가?'

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원산학사 [1003750]

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라그랑지안 · 812222 · 21/12/14 22:08 · MS 2018

알려진 미분법이란거 자체가 미분의 정의에 특정 꼴을 대입해서 일반화한 것이고, 알려진 미분법을 증명할 때 이미 미분가능성을 증명한 것으로 봐야하므로 괜찮지 않을까요

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오늘의나무위키킬링타임 · 928694 · 21/12/14 22:11 · MS 2019

비슷한걸로 매끄러움이라는 성질이 있는 듯

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원산학사 · 1003750 · 21/12/14 22:12 · MS 2020

무슨말씀이신지 이해가 안가요 ㅜㅜ 설명 가능하신가요

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오늘의나무위키킬링타임 · 928694 · 21/12/14 22:13 · MS 2019

다만 이거는 무한번 미분해도 계속 연속인 함수들을 말하는거고요

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라그랑지안 · 812222 · 21/12/14 22:14 · MS 2018

근데 묻는게 x^2을 다항함수의 미분법을 적용하면 2x가 튀어나오는데, 2x가 튀어나오므로 x^2이 미분 가능하다고 하는 논리는 합당하냐고 묻는거 맞죠?

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원산학사 · 1003750 · 21/12/14 22:15 · MS 2020

네 맞습니다.

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라그랑지안 · 812222 · 21/12/14 22:33 · MS 2018 (수정됨)

어떤 함수들의 집합 X가 있습니다. X의 일부를 정의역으로 하는 어떤 연산 x가 존재하여, X의 임의의 원소 f에 x를 적용했을 때 결과를 (존재한다면) f'이라 합시다. 만약 임의의 X의 원소인 미분가능한 f에 대해 f'이 존재하고 f'이 f의 도함수라면 x를 "X꼴 함수에 대한 알려진 미분법"이라 할 수 있을 것입니다.
예를 들어 임의의 실수 전체에서 미분가능한 함수 g와 g의 치역에서 미분가능한 함수 f에 대해 f(g(x))로 구성된 집합 X를 잡으면, f(g(x)) => f'(g(x))g'(x) 연산은 X꼴 함수에 대한 알려진 미분법(a.k.a. 합성함수의 미분법)이라 할 수 있겠죠.

참거짓을 판단하고 싶은 명제는, X의 일부에 대해 결과값이 존재하는 연산 x에 대해 x가 "X꼴 함수의 알려진 미분법"이라면 X의 함수 중 연산 x를 적용할 수 있는 함수는 미분가능한가? 일테고요.

제 생각에는 교과서 상 미분법에 대해서는 성립하지만 X와 연산 x를 변태같이 잡으면 반례를 찾을 수 있을 것 같네요.
예를 들어, 집합 P를 {x^2, |x|}라 잡겠습니다. P를 정의역으로 하는 연산 p:P->P'를 다음과 같이 정의하겠습니다.
"if A = x^2 => p(A) = 2x, if A = |x| => p(A) = 1"
위에서 정한 정의를 정확히 충족하므로 (임의의 X의 원소이며 미분가능한 f에 대해 f'이 존재하고 f'이 f의 도함수라면 x를 "X꼴 함수에 대한 알려진 미분법"이라 하자.) 연산 p는 P꼴 함수의 알려진 미분법이라 할 수 있겠죠. 그런데 |x|는 미분 불가능한데, p를 적용하면 정의에 의해 1이 튀어나옵니다. 그러므로 여기서는 p의 연산 결과가 존재한다고 그 함수가 미분가능하다는 논리를 적용할 수 없겠죠?

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원산학사 · 1003750 · 21/12/14 23:19 · MS 2020

근데 절댓값x라는 함수가 어떻게 명제를 만족하는지 이해가 안가요. 미분법은 미분가능한함수에 대해 존재하는것 아닌가요?

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라그랑지안 · 812222 · 21/12/14 23:57 · MS 2018 (수정됨)

“알려진 미분법”의 정의가 애매해서 생기는 문제에요.
“알려진 미분법”은 일종의 연산이고, “알려진 미분법”이라는 개념을 정의하려면 애초에 연산을 적용할 수 있는 대상이 한정되어야 합니다. 그리고 그 정의상 연산을 적용할 수 있는 대상이 “미분 가능한 함수들”로 한정된다면, 위 질문은 의미가 없습니다. 자명하게, 정의상 미분 가능한 함수에 대해서만 연산의 결과를 도출 할 수 않으니까요. 연산이 결과가 도출된다면 미분간능한 함수를 input으로 넣있다는 뜻이 됩니다.
그래서 질문의 의미가 있으려면 “알려진 미분법”이란 개념을 정의할 때 연산을 적용할 수 있는 대상을 “미분 가능한 함수”라고 한정하지 않고 그냥 “함수”라 해야됩니다. 이때 질문이 참이라면 그렇게 정의했을 때 “알려진 미분법”을 정의할 수 있는 집합이 반드시 “미분 가능한 함수들의 집합”임을 보이면 되구요, 거짓이라면 꼭 그렇지는 않음을 보이면 됩니다. 저는 후자를 보인거죠.

이해가 어려우실텐데, 예를 들어보겠습니다.

동전을 넣으면 공이 나오는 기계가 있어요. 원산학사님의 질문은 이거에요. “기계에 뭔가를 넣었더니 공이 나왔어요! 제가 집어넣은것은 동전인가요?” 만약 기계 옆에 관리인이 있어서 동전만 넣게 하면 이 질문은 의미가 없죠. 공이 나왔든 말든 동전밖에 못 넣으니까요. (“알려진 미분법”이란 연산의 개념을 정의할 때 연산의 대상을 미리 “미분 가능한 함수”로 한정한 경우, 이 “알려진 미분법”을 적용 가능하다는 것 자체가 해당 연산의 정의에 따라 적용 대상이 미분 가능한 함수란 뜻입니다.)
원산학사님의 질문이 의미가 있으려면, 관리인이 없어야 합니다. 그래서 기계에 다른 것도 넣는 것을 시도할 수 있어야 합니다. (“알려진 미분법”이란 연산의 개념을 정의할 때 연산의 대상이 그냥 “함수”인 경우) 그리고 질문이 참이라면, 동전을 넣으면 공이 나오는 기계를 만들다 보면 어쩔 수 없이 동전만 넣을 수 있는 기계가 됨을 증명해야 합니다. (즉, 정의상 연산의 대상은 “함수”지만 정의로부터 연산의 대상이 반드시 “미분 가능한 함수”여야 함을 유도할 수 있어야 한다는 거죠) 질문이 거짓이라면, 반례, 예를 들어 동전을 넣으면 공이 나오는 기계이면서 지폐를 넣을 때도 공이 나오는 기계를 만들 수 있음을 보이면 됩니다.

|x|가 명제를 만족하는 이유는, “동전이나 지폐를 넣으면 공이 나오는 기계”를 만들었기 때문입니다.

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라그랑지안 · 812222 · 21/12/14 22:37 · MS 2018

다만 위 논증은 "알려진 미분법"의 정의에 따라 달라질 수 있습니다. 당장 "알려진 미분법"을 다음과 같이 정의하면 반례가 생기지 않습니다.
"미분 가능한 함수들의 집합 X에 대해, X를 정의역으로 하는 연산 x가 존재하여 그 결과값이 반드시 도함수가 되는 경우 그 연산을 X꼴 함수의 알려진 미분법이라 하자."
이 경우 연산 x에 넣을 수 있는 함수들은 정의상 미분가능하므로, 말씀하신 논리가 반드시 성립합니다.

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