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제로콜라 [408120] · MS 2017 · 쪽지

2021-12-05 18:33:41
조회수 6,764

기말고사 전 알아야할 내용! 역함수와의 교점은 항상 y=x 에 있을까? 증가함수, 감소함수일 때 교점 개수와 위치, 실전 문제 적용까지!

게시글 주소: https://orbi.kr/00041277729


글보다 영상이 이해가 쉽습니다.


역함수와의 교점은 항상 y=x에 있다고 잘못 알고 있는 경우가 많습니다.


실수 전체에서 연속인 함수가 역함수를 가지려면 증가함수이거나 감소함수입니다.


1. 증가함수

증가함수일 때는 교점이 생긴다면 반드시 y=x 위에 생깁니다.(교점이 없을 수도 있습니다.)

교점의 개수는 0개, 1개, 2개, ...부터 무수히 많은 경우까지 가능합니다.


2. 감소함수

y=x 위에 있지 않은 (a, b)가 y=f(x)와 역함수 y=g(x)의 교점이라면

f(a)=b, g(a)=b가 되는데 이를 통해 g(b)=a, f(b)=a 임을 알 수 있습니다.

즉, (b, a)도 y=f(x)와 y=g(x)의 교점이 되죠. (a, b)와 (b, a)가 한 쌍씩 교점이 되는 것이죠. 

따라서 y=x 대칭으로 교점이 두 개씩 추가됩니다. 

그런데 y=f(x)가 (a, b)와 (b, a)를 모두 지나려면 감소함수임을 알 수 있고, 

(a, b)와 (b, a)를 지나려면 그 사이 어딘가에서 y=x와 만난다는 것을 알 수 있습니다.

(직관적으로 파악해도 되고, 연속 단원을 공부했다면 사잇값 정리를 쓰셔도 됩니다. )

그 점을 (c, c)라 하면 감소함수일 때는 y=x 위에서 (c, c) 한 개 만나고, 나머지는 한 쌍씩 추가되므로 반드시 홀수개의 교점을 가지게 됩니다.


*물론 y=-x같은 경우처럼 무수히 많은 경우도 가능합니다.

*y=x위에서는 단 하나만 교점이 생깁니다. (c, c)가 아닌 (d, d)도 교점이라 하면 (c, c)와 (d, d)를 지나는 함수는 감소함수일 수 없기 때문입니다. 


3. 감소함수일 때 역함수와의 교점 구하는 문제 2개에 적용하는 것은 영상에서 확인해보세요. 

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