기말고사 전 알아야할 내용! 역함수와의 교점은 항상 y=x 에 있을까? 증가함수, 감소함수일 때 교점 개수와 위치, 실전 문제 적용까지!
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글보다 영상이 이해가 쉽습니다.
역함수와의 교점은 항상 y=x에 있다고 잘못 알고 있는 경우가 많습니다.
실수 전체에서 연속인 함수가 역함수를 가지려면 증가함수이거나 감소함수입니다.
1. 증가함수
증가함수일 때는 교점이 생긴다면 반드시 y=x 위에 생깁니다.(교점이 없을 수도 있습니다.)
교점의 개수는 0개, 1개, 2개, ...부터 무수히 많은 경우까지 가능합니다.
2. 감소함수
y=x 위에 있지 않은 (a, b)가 y=f(x)와 역함수 y=g(x)의 교점이라면
f(a)=b, g(a)=b가 되는데 이를 통해 g(b)=a, f(b)=a 임을 알 수 있습니다.
즉, (b, a)도 y=f(x)와 y=g(x)의 교점이 되죠. (a, b)와 (b, a)가 한 쌍씩 교점이 되는 것이죠.
따라서 y=x 대칭으로 교점이 두 개씩 추가됩니다.
그런데 y=f(x)가 (a, b)와 (b, a)를 모두 지나려면 감소함수임을 알 수 있고,
(a, b)와 (b, a)를 지나려면 그 사이 어딘가에서 y=x와 만난다는 것을 알 수 있습니다.
(직관적으로 파악해도 되고, 연속 단원을 공부했다면 사잇값 정리를 쓰셔도 됩니다. )
그 점을 (c, c)라 하면 감소함수일 때는 y=x 위에서 (c, c) 한 개 만나고, 나머지는 한 쌍씩 추가되므로 반드시 홀수개의 교점을 가지게 됩니다.
*물론 y=-x같은 경우처럼 무수히 많은 경우도 가능합니다.
*y=x위에서는 단 하나만 교점이 생깁니다. (c, c)가 아닌 (d, d)도 교점이라 하면 (c, c)와 (d, d)를 지나는 함수는 감소함수일 수 없기 때문입니다.
3. 감소함수일 때 역함수와의 교점 구하는 문제 2개에 적용하는 것은 영상에서 확인해보세요.
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이미지탭 맨 위에 바로뜨는줄알고 ㅈㄴ놀랬네십 ㅋㅋㅋㅋㅋ
이건 영상 보기전에 스스로 증명해보는거 추천함
어렵지않음
네 스스로 해보는게 좋지요. 해보시고 영상보시면서 빠트린 부분 있는 지 확인하시면 좋을 것 같아요.
모수님 저 님 해설강의 듣고 수학 성적 많이 올랐어요
감사합니다
와 너무 기쁜 일이네요 ㅎㅎ 이렇게 댓글 남겨 주셔서 감사합니다. 몇학년이신지 모르겠지만, 수능 치셨으면 너무 고생하셨구요. 1~2학년이시면 앞으로도 제 컨텐츠가 도움되시면 좋겠어요.
수능 이미 쳤어요 ㅎㅎ
대신 제 동생에게 추천했습니다
추천해주셔서 감사해요!
ㅇㄷ 나중에 복습하러 올게욤ㅎ
넵 댓글 감사합니다
이거 19 9평이었나 있었지 않나요 역함수 감소함수일때 첨 풀때 너무 어려워서 울뻔 ㅠㅠ
아마 6평 29번(나형) 말씀하시는 것 같아요! 영상에서 해당 문제 다루고있어요