FIP

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일반 위상 리뷰하다가 되게 오랜만에 'finite intersection property (FIP)' 와 재회했는데, 어떤 X라는 위상공간의 어떤 부분집합들을 모아놓은 것들 C에 대해서 C의 임의의 유한개의 원소들을 뽑아서 교집합을 시켜도 공집합이 아닌 경우, C가 finite intersection property를 가졌다 라고 말함.

위상공간 X가 compact하다는 것과 동치인게 FIP와 관련된 어떤 특별한 조건을 만족시키는 것. 한국어로 말하기가 까다로워서 쓰진 않겠지만 결과적으로는 드모르간 법칙으로 증명 가능.

보통 어떤 공간이 compact하다는 걸 보일 때 그냥 open covering을 가져와서 보이지 FIP관련된 동치 조건을 이용해서 보이는건 본적이 없었음. 일반적으로는 open covering을 이용해서 보이는게 비교적 쉽기 때문.

근데 가환대수 숙제 문제중 하나가 이 FIP를 이용해서 어떤 위상 공간이 compact하다는 걸 보임 (적어도 더 간단함).

예전에도 썼던거 같은데 대수기하에 Zariski-Riemann space 라는게 있음. 정의는 되게 복잡함. 아무튼 이 공간에 자르스키 위상을 주면 위상공간이 되는데, 이러한 위상 공간이 quasi-compact 하다는 걸 보이라는게 문제였음 (대수기하에서 quasi-compact은 그냥 일반위상에서 compact이랑 같은 의미). 당시에 이걸 완전히 증명은 못했었음. 아무튼 FIP를 써서 하는건 맞다고 피드백을 받긴 함.

사실상 compact을 FIP를 이용해서 증명하는걸 본 건 저때가 처음. 앞으로 또 있을지는 모르겠음.