lRP^2

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위상시간에 배우는 lRP^2 (real projective plane) 은 여러가지 방법으로 만들어질 수 있는데, 가장 스탠다드한건 구 S^2에 대해서 서로 마주보는 점 antipodal point 들을 하나의 점으로 identify 하는 것. 머릿속으로 상상해보면 구체적인 모습이 상상이 되지 않는데 그 이유는 lRP^2 는 3차원에 embedding이 안됨 (S^2는 3차원에 embedding이 되는데도). 이걸 증명하는 방법은 그전에 클라인병 처럼 알렉산더 듀얼리티를 사용할 수도 있고, 기하를 이용해서 증명할 수도 있고 심지어 조합론(!!) 을 이용해서 증명하는 방법도 있음.

이러한 lRP^2가 lR^3에 embedding이 안된다는 사실의 활용으로 가장 유명한것이 'Toeplitz problem' 이라고 하는 것으로 내 기억에는 3blue 1brown 유튜브 채널에도 올라온 것으로 알고 있음 (inscribed square problem). 이 문제의 진술은 '2차원 평면에 있는 simple closed curve가 정사각형의 꼭짓점들을 항상 포함하고 있는가?' 임. 이 문제는 아직도 풀리지 않은 문제고 (비록 참이라고 많은 사람들이 믿고 있지만), 좀 약한 형태의 진술은 증명이 되는데 : '2차원 평면에 있는 simple closed curve가 직사각형의 꼭짓점들을 항상 포함하고 있는가?' 로 기존 진술과 다른점은 '직사각형' 이라는 점. 이것의 증명에 바로 위에 lRP^2는 lR^3에 embedding이 안된다는 것을 이용함.

lRP^2가 lR^3에 embedding이 안되는 조합론 풀이랑 직사각형 버전의 Toeplitz problem 의 구체적인 증명이 보고싶으면 댓을 남겨주삼. 수정해서 올려드리겠음 (물론 아무도 없을것이라 강하게 예상).

3b1b 영상: https://youtu.be/AmgkSdhK4K8