9평 15번 그래프를 이용한 풀이

Question

네 생각보다 오래 걸렸네요...

제가 아까 9평 수학 15번 문제와 서울대 수시 일반전형 면접문제랑 아이디어가 유사하다고 그랬습니다

근데 다시 보니까 아이디어가 유사하긴 한데, 서울대 수시 일반전형 면접문제가 훨씬 더 발전적인 문제네요.

자 이제 두 문항을 서로 비교해봅시다.

두 문항이 서로 어떠한 면에서 유사한지 눈치채셨나요? 두 문항 모두 대수적 접근보다 그래프를 통한 해석적 접근이 문제를 풀 때 더 용이하고 기울기의 절댓값이 같은 일차함수의 성질을 이용해야 잘 풀리는 문제입니다.

이 문제를 여기서 다루기에는 분량이 너무 많습니다. 혹시 여러분이 이 문제에 관한 자세한 해설을 원하면 추후에 글을 작성해보도록 하겠습니다.

자 그렇다면 15번 문제를 노가다식 대입이 아닌 그래프를 통한 해석적 접근을 시도해보겠습니다.

수열의 정의역을 -1 이상 1 이하의 실수 전체로 확장하면 다음과 같은 그래프가 그려집니다.

우선 조건 a5+a6=0은 a5와 a5의 함수값을 더한 값이 0이란 뜻이므로 그래프에 따르면 둘 다 0일 수 밖에 없습니다.

그 다음으로 a5가 0이라는 것은 a4의 함수값이 0이라는 뜻이므로 a4는 -1 또는 0 또는 1입니다.

자 이제 각각 a4가 -1인 경우와 0인 경우, 그리고 1인 경우로 나누어보겠습니다.

(i) a4=-1

a3의 함수값이 -1이므로 a3=-1/2입니다.

그리고 a2의 함수값이 -1/2이므로 a2는 선대칭과 1:2 닮음비를 통해 -3/4 또는 -1/4임을 알 수 있습니다.

마지막으로 a1의 함수값이 -3/4 또는 -1/4이므로 a1은 아까와 같이 선대칭과 1:2 닮음비 때문에 각각

a2=-3/4일 경우 a1=-5/8 또는 -3/8이고,

a2=-1/4일 경우 a1=-7/8 or -1/8임을 알 수 있습니다.

(ii) a4=0

a5에서 a4를 구한 것과 마찬가지로 a3은 -1 또는 0 또는 1입니다.

그렇다면 또 a3이 1인 경우, 0인 경우, -1인 경우로 나누어야 합니다.

1. a3=-1이라면 a2=-1/2일 것이고, a1은 선대칭과 1:2 닮음비를 통해 -3/4 또는 -1/4임을 알 수 있습니다.

2. a3=0이라면 또 a2=-1 또는 0 또는 1입니다.

그렇다면 또 경우를 나누어야 합니다.

a2=-1일 경우 a1=-1/2입니다.

a2=0일 경우 a1=-1 또는 0 또는 1입니다.

a2=1일 경우 a1=1/2입니다.

3. a3=1이라면 a2=1/2일 것이고, a1은 선대칭과 1:2 닮음비를 통해 1/4 또는 3/4임을 알 수 있습니다.

(iii) a4=1

a3의 함수값이 1이므로 a3=1/2입니다.

그리고 a2의 함수값이 1/2이므로 a2는 선대칭과 1:2 닮음비를 통해 각각 1/4 또는 3/4임을 알 수 있습니다.

마지막으로 a1의 함수값이 1/4 또는 3/4이므로 a1은 아까와 같이 선대칭과 1:2 닮음비 때문에 각각

a2=1/4일 경우 a1=3/8 또는 5/8이고,

a2=-3/4일 경우 a1=1/8 or 7/8임을 알 수 있습니다.

결론

수열 문제는 체계적인 노가다를 요하는 문제도 있지만 그래프를 통한 해석적 관점으로 더 빠르게 풀 수 있는 문제들이 있습니다. 이 문제가 그러한 문제였던 것 같네요 ㅎㅎ

저처럼 해설하신 분이 있는지는 잘 모르겠지만, 저처럼 해설하신 분이 있다고 해도 아직 이러한 관점을 통해 이 문제를 풀 수 있는 분이 얼마 되지 않는 것 같아서 올려봤습니다.

마지막으로 이번 글의 가독성이 상당히 떨어지는데 지금까지 읽어주셔서 감사합니다(꾸벅)

네가 잘됐으면 좋겠어 · Accepted Answer

강대쌤들은 아마 이 풀이도 가르치시는걸로 알아요

Evolved Slave II · Answer

엌 저 서울대 면접 문제 교재 내려 초안 만들 때 처음으로 쓴 풀이였는데

TVWXYXWVT · Answer

a5+a6=0 를  y=-x 와의 교점으로 해석해도 될 것 같습니다

스케딩 · Answer

근데 전 감각적인 직관을 포함한 노가다로 2분만에 풀어서 그래프 풀이가 더 빠른지도 잘 모르겠는 ㅋㅋ

SCT45 · Answer

윽건t도 그래프로 푸시던데

최근 게시글 · 더보기