[수학 정보] e^x에서의 접선과 접점, x절편의 관계

Question

1. 본론 미적분 문제에서는 곡선 ex에서의 접선의 정보에 대하여 물어보는 문제가 많이 나오며, 이는 단순히 도함수의 활용을 넘어서, 정적분의 활용에서도 나올 수 있습니다. 제가 하고 싶은 말은, 라는 것을 알아두셨으면 해서 적어봅니다. 우선, 증명도 해봐야 하는데, y=ex는 미분해도 y'=ex니까, 점 P에서의 미분계수는 et일 것입니다. 따라서 점 P의 접선의 기울기는 et이고, 접선은 점 P를 지나므로, 접선 : y = et ( x - t ) + et 일 것이고, 이 접선은 항상 ( t - 1, 0 )을 지난다는 것을 알 수 있습니다. "에이, 당연한 말 아니야?"라고 생각할 수 있지만, 이걸 역으로 생각하면, <점 ( t, 0 )에서 곡선 y=ex에 그은 접선은 ( t + 1, et+1 )의 접선이다> 라는 것을 알 수가 있습니다. 이걸 일반화하면, <점 ( t, c )에서 곡선 y=eax+b+c에 그은 접선은 ( t + 1/a, eat+b+1+c )의 접선이다> 라는 것도 알 수 있습니다. "뭐야, y=ex에서 밖에 못 써먹는 거 아니야?" 라고 생각하실 수도 있겠지만, 가령 y=2x+1+4 같은, 밑이 e가 아닌 지수함수 역시 y=eax+b+c에서 a = ln 2, b = ln 2, c = 4로 두면 y=2x+1+4와 일치하기 때문에, 빠르게 써먹을 수 있다고 생각합니다. 2. 문제에의 적용 [2018년 7월 학평 가형 13번] "점 ( 1, 0 )에서 곡선 y=ex에 그은 접선을 l이라 하자. 곡선 y=ex과 y축 및 직선 l로 둘러싸인 부분의 넓이는?" 으로 문제가 주어집니다. 여기서 우리는 계산을 할게 아니라 곡선과 직선이 점 ( 2, e2 )에서 접하면서 만나는구나를 바로 알 수 있다는 말입니다. 문제에서 y축에 둘러싸인 넓이를 구하니까, 이렇게 하면 바로 정적분식에서 아래끝과 위끝을 0, 2로 바로 둘 수 있습니다. 도움이 되었다면 덕코 수금 해보고 싶은데 7ㅐ추 좀 눌러줘 응애

시험 · Accepted Answer

아이폰도 윗첨자 쓸 수 있게 해줘

마석고문 · Answer

같은 내용으로 lnx에도 적용할 수 있겠네요~

[수학 정보] e^x에서의 접선과 접점, x절편의 관계

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