수능완성 극한 문제 야매로 부시기
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t가 1로 갈 때의 문제입니다. 이 경우 x=1에서 y=ln x의 기울기는 1이므로 x=1에서 ln x는 기울기가 1인 직선입니다. 따라서 로그 함수를 직선으로 근사해서 풀어줍시다.
A와 P의 수직 이등분 선과 y=2x가 만나는 점이 Q가 됩니다. 따라서 P가 A와 동일해지는 시점에는 A를 지나고 기울기가 –1인 직선과 y=2x가 만나는 점이 Q이고, 이때 Q의 좌표는 1/3입니다.
비슷한 다음 문제입니다.
t가 0으로 가까워질 때 y=e2x-1은 y=2x와 같습니다. x=0일 때의 y=e2x-1에서의 미분값이 2이기 때문입니다. 그러면 y=e2x-1 대신 y=2x를 넣어서 그려줍시다.
삼각형 ORQ의 크기는 0.5t2입니다. 그림에서 삼각형 ORQ와 OPR의 크기는 같습니다. 또한 삼각형 PRQ의 크기는 삼각형 OPR의 절반입니다. 따라서 삼각형 OPH의 크기는 0.75t2이며, 답은 5번입니다.
다음은 비교적 유명한 삼각함수 극한 문제 유형입니다.
우선 중요한 특징 짚고 넘어가겠습니다.
다음 그림에서 선분 OB의 길이가 1일 때, θ가 0에 가까워지면 점선인 부분들의 길이는 θ로 수렴하고, 1점 쇄선인 부분은 0.5θ2로 수렴합니다.
유념하고 다음 문제를 풀어봅시다.
풀어봅시다.
원호 PQ의 중점에 M을 찍어줍시다. 반원의 중심 O에 대해서 각 MAQ의 크기를 α로 두면 원주각의 성질에 따라서 각 MOQ는 2α이며, α=0.25π-θ이므로 PQ의 길이는 4α=π-4θ로 수렴합니다. 또한 각 PQA의 크기는 θ이므로 45도에 수렴합니다. 즉 θ가 45도로 수렴하면 삼각형 PQH는 빗면의 길이가 π-4θ인 직각 이등변 삼각형이 되므로 넓이는 0.25(π-4θ)2입니다. 답은 5번이 됩니다.
역시 삼각함수 극한 문제입니다.
풀어봅시다.
그림처럼 보조선을 긋게 되면 아까 유념하라고 한 내용에 따라 선분 PQ의 길이는 θ로, 선분 HP와 AQ의 길이는 동일하게 0.5θ2로 수렴하게 됩니다. 따라서 RQ의 길이는 0.5θ2로 볼 수 있습니다. θ가 0으로 가면 PQ는 y축과 평행하게 되고 RQ는 x축과 평행하게 되므로 삼각형 PQR의 크기는 PQ의 길이와 RQ의 길이를 곱한 후 0.5배를 해준 것에 수렴합니다. 그 값은 0.25θ3이므로 이것을 θ3로 나누고 60을 곱하면 15가 답입니다.
유익하셨다면 정성추 부탁드립니다.
별 내용도 아닌데 쓰는데에는 오래 걸린단 말이죠.
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