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헐크형 [419653] · MS 2017 · 쪽지

2013-10-21 22:23:38
조회수 403

빡모 2권 6회 12, 13번 관련 질문입니다.

게시글 주소: https://orbi.kr/0003882869




문제 자체는 그렇게 어렵지 않습니다 단순한 근과 계수의 관계 + 삼각함수 문제

그런데 제가 궁금한것은
점 (0, 1)에서 쌍곡선에 그은 접선이 2개 이거든요.
그런데 이게 직관적으로 쉽게 이해가 되지 않습니다

제가 이거 처음에 멘붕한 이유가 접선이 4개 되는것처럼 보였거든요

쌍곡선 관련해서 접선이 되고 안되고를 판단하는 수단중 하나가 점근선이 잖아요
그런데 여기서 점근선 기울기가 1/루트k 입니다
y=mx+-루트(km^2-1)에다가 0,1 대입해서 정리하면 접하기 위한 기울기는 루트 (2/k)가 됩니다
그 기울기가 점근선 기울기보다 크잖아요
그러니까 접할수 있을것처럼 보이거든요
k 값이라도 고정되어 있다면 적어도 1보다 크거나 작다 이런말이라도 있으면 모르겠는데
그것조차 없으니 전혀 감이 안잡히네요

물론 결론은 얻어냈습니다. 그것도 매우 복잡하게.
일단 생각해낸 방법이

1) y=mx+1의 꼴로 정리해서 쌍곡선과의 접점을 구한다. 거든요

즉 기울기가 양수일때 -> 접점의 x좌표는 음수가 되거든요
따라서 1사분면에서 접할수는 없다는 결론이 나오게 됩니다.

2) 음함수의 미분법을 이용
하면 dy/dx=x/ky가 되는데 이게 루트(2/k)와 같아진다고 놓게 되면

이 됩니다
여기에서 y를 구하면

인데 이 y좌표가 A(0,1)의 좌표와 같기 때문에 A와 이 점을 동시에 지나면서
기울기가 양수일수는 없다.
는 결론이 나오긴 했거든요

이렇게 무식한 결론말고
쉽고 직관적으로 왜 접선이 2개만 될 수 있는지 알려주실 분 있으신가요?

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헐크형 [419653]

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