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므아아앙 [1069161] · MS 2021 · 쪽지

2021-07-23 16:58:00
조회수 499

퀴즈 풀이 ㅡㅅㅡ

게시글 주소: https://orbi.kr/00038711058

0<=x<=k에서 함수 y=-x²+kx를 생각해보자.


우선 원점 O, A(k,0)을 잡고 이차함수 위의 임의의 두 점 P, Q를 Q의 x좌표가 더 크도록 하여 잡아보자.


이 때 OPQA의 넓이는 이차함수와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이에서 이차함수와 OP, PQ, QA로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.


이차함수와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 일정하다.


O, P, Q, A에서 서로 이웃한 점들 사이의 x좌표 차를 a, b, c라고 해보자. 그러면 a+b+c=k로 일정한 상태이고,  OP, PQ, QA와 이차함수로 둘러싸인 부분의 넓이의 합은 (a³+b³+c³)/6이다.


따라서 이제 우리가 풀고자 했던 문제, 즉 a+b+c가 일정할 때 a³+b³+c³이 최소가 되는 것은 언제인가 하는 문제는 사각형 OPQA의 넓이가 최대인 것은 언제인가 하는 문제로 바뀌었다.


이차함수 위에 Q점을 잡고 그 x좌표를 t라고 해보자. 어떤 t값이 주어졌을 때 P값을 어떻게 잡아야 삼각형 OPQ의 넓이가 최대가 될 수 있을지 생각해보면 OQ와 Q에서 이차함수의 접선이 평행할 때임을 알 수 있고, 이차함수에서 평균값 정리가 성립하는 지점은 두 점의 x좌표의 중간값을 갖는 지점임이 알려져 있으므로 이를 이용하면 P의 x좌표가 t/2일 때를 택해야 함을 알 수 있다.


그 다음에는 OPQA의 넓이를 t에 관한 식으로 나타내고 t값이 어떤 값일 때 넓이가 최대인지를 확인하면 됩니다


그러면 얻어지는 결론이 t=2k/3일 때라는 것일 거에요

따라서 a=b=c=k/3일 때 a³+b³+c³ 최소.



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므아아앙 [1069161]

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