미분 문제 ㄷ번 명쾌하게 설명좀 부탁해요!

ㄷ이 거짓인가요?

네네~

으.. 다항함수라는 조건이 없어서.. 시험장에서 이런문제본다면 그냥 둘다 이차함수라고 생각하고 풀텐데,, 이건 좀더생각을..

반으로 나누면 삼각형두개가 보이는군요 밑변을 공유하는 ㅋㅋ

근데 높이가 최대여야지 넓이가 최대일꺼아닙니까!!

a~b 의 평균변화율과 같은 기울기를 가진 k 인곳이 높이가 가장 높겟군요

이걸 뭐라그러더라 최대최소 정리던가 평균값정리던가 아~ 몰라

다항함수가 아니라서 직관으로밖에 생각이 안나네요.
g(x) - f(x) 가 최대가되는 x가 k인데, 두함수모두 모든실수에서 미분가능하니까,
g'(k) - f '(k) = 0 이됩니다. 이때 g'(k) = f '(k) = 0이라고 할 수 있을까요?? 아닙니다.
음,, g'(x)는 양수 ---> 음수로가고, f '(x)는 음수 ---> 양수로가는중이죠?
분명 두 도함수가 만나는점은 있을겁니다. 하지만 그게 0이라고할수는없죠.

이게 왜 직관적인 풀이죠?? 맞는거같은데요ㅋㅋ

예를 들면
이차 방정식이 하나일때 (최고차항 - 일때)최대값은 기울기가 0 인것 또한
x축과 만나는 부분의 평균변화율과 같은 기울기를 가진곳인걸 알수있습니다

이풀이는 그냥 참고만해주세요. 두함수가 이차함수라고 가정해봅시다.
g(x) - f(x) = p(x-a)(x-b)로 만들 수 있고 이때 p는 음수입니다.
미분해서 0 이될때가 최대길이겠지요?
0 = p(2x-(a+b)) 즉 k = a+b/2 입니다.
두함수가 이차함수라고해도 a+b/2 에서 기울기값이 0이라는 보장이없죠..

풀었는데 오르비앱 사진첨부가 안되네요ㅠㅠ 암튼 윗분말씀이 맞는듯

사각형의 넓이가 S(x)=1/2×(b-a)×{g(x)-f(x)}이고 S(a)=S(b)=0이므로 롤의 정리에 의해 S'(c)=0를 만족하는 c가 열린구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

그러면 g'(c)-f'(c)=0인데 g"(x)<0이고 f"(x)>0이므로 x>c일때 g'(x)-f'(x)<0이고 x0이다. 따라서 S(x)는 x=c에서 유일한 극댓값을 가지므로 S(c)값이 최대이다.

결론은 사각형넓이가 최대일때 k에 대하여 g'(k)=f'(k)이니 이 식은 만족하지만 g'(k) 또는 f'(k)=0이 을 만족하지 않는 걸 반례로 들면 되겠네요^^

무슨 이상한 수식 생각하는게 아니고 보자마자 평균값의 정리를 쓰기위해 AB를 긋습니다. 평균값의 정리의 말뜻이 어떤 곡선이랑 직선이랑 빼서 생각하면 롤의정리에 의해서 곡선의 극대혹은극소점이 그은 직선의 기울기와 같은지점에 있다 이거에요. 미분가능한함수라는 조건은 너는 평균값정리에 의해 기울기를 그을수잇어 이말이지 다른 의미는 없고요. 그러므로 직선ab와 동등한 기울기 같은점에 잇는거 찾아봐 이게ㅇ문제고 직선ab 가 0이 아니니까 틀렷음. 넓이를 구해서 생각하는게 아니고요.

정 논리적으로 가시지 않아도 반례를 그리면 됩니다. 위 분들이 훌륭하게 논리를 전개하셔서 반례를 간단히 드는 예만 소개하다면 (사실 이 경우는 조건을 좀 빼먹은 듯 한게 k의 범위가 a

윗분들 훌륭한 답변 정말감사합니다!!