정수가 아닌 유리수가 지수일 때 특수한 조건
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자연수 k, 소수 p에 대해
가 성립한다고 하자. 양변을 a 거듭제곱하면,
임을 알 수 있고, k가 p를 제외한 다른 소수의 배수의 곱일 시 해당 소수로 나눠떨어지고 우변은 p로만 나눠떨어지므로 k가 p의 배수임을 알 수 있다.
이므로 양변을 정리하면
이 됨을 알 수 있다. 그럼 b-a<0인 경우와 b-a>0인 경우로 나눌 수 있다.(b=a일 경우 서로소 조건에 모순)
b-a<0이라 하면,
이므로 자연수 n,a에 대한 모순이다. b-a>0일 경우에는 위에서와 같은 원리로 n이 p의 배수로 둘 수 있고, n이 p가 아닌 2이상의 소수로 나누어떨어질 시 해당 소수로 나누어떨어지므로 우변이 p로만 나누어떨어짐과 모순이다. 즉,
이 성립하고, p의 차수를 비교하면,
이므로 b가 a의 배수이므로 이는 a,b가 서로소라는 가정에 모순이다.
따라서 소수의 정수가 아닌 유리수 거듭제곱은 자연수일 수 없다.
편-안
사실 더 간단한 증명은 그냥 처음에 k가 p의 배수이고 2 이상의 또 다른 p가 아닌 소수에도 나누어떨어지면 모순이 생기는 거로 보일 수도 있는데, b-a의 부호에 따라 1보다 작아지는 상황에 대해 설명하고 싶어서 저렇게 좀 돌아가서 증명해봤습니다.
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증명 아래에서 두번째 줄에서 a,b가 공약수 m+1을 가지는게 아니라 b가 a를 나눠서 서로소 조건에 모순인게 아닐까요?
+) b/a가 정수가 아닌 유리수라면 a>=2라는 조건이 생기네욤
아 그러네요. 수정해야겠네
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귀류법이군요
게임 자체를 담보로 잡는 대담한 방법이죠.
잘 봤습니다!!