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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-07-05 18:20:24
조회수 3,219

확통 스티커 문항(110924) 완전 정복하기

게시글 주소: https://orbi.kr/00038386359

안녕하세요 오늘은 확통러 여러분의 최강의 적, 공포의 대상인 스티커 문제를 완전히 정복해봅시다.


 

제가 쓰는 논리가 복잡할 수도, 현장에서는 다른 방식으로 대강 대칭성을 이용해서 푸는 게 가장 바람직할 수 있지만, 제가 이 문제 풀이를 정리하면서 이 논리로 그나마 가장 깔끔하고 명확하게 정리할 수 있다 판단한 풀이를 들고 왔습니다. 한 번 보시죠. 문제는 다음과 같습니다.



정말이지 몇 번을 봐도 괴랄합니다. 아마 한 99.99%의 확률로 올해 수능에서는 이렇게 못 낼거로 보는데, 그래도 한 번 공부한다는 생각으로 접근해봅시다.


우선, 3으로 나눈 나머지이므로 3을 0으로 봅시다. 어차피 하나씩 더하는 거이기 때문에 1에다가 더하면 2되고, 2에다가 더하면 3 되니 0으로 보고, 0에다가 더하면 1 되는 구조라 항상 똑같은 순환이 됩니다. 실제 개수가 중요한 게 아니라 나머지가 중요한 거니 그냥 이렇게 봐도 됩니다.


그리고 약속 하나 더 합시다. 1을 어디다가 더하든, 작은 수가 왼쪽으로 오게 정렬합시다. 무슨 얘기냐고요? 예를 들어,


0,2,2


가 나왔고, 2에다가 하나 더한 꼴이면


0,3,2=0,0,2


이거나


0,2,3=0,2,0


이 되는 상황일텐데 0,2,0을 왼쪽에 작은 수가 있게 하기 위해


0,0,2


로 정렬해봅시다. 왜 굳이 이렇게 하느냐고요?


0,0,2든 0,2,0이든 최소한으로 더해서 나머지가 같게 하려면 2에다가 1을 더해야 함을 동일하기에 크기순 정렬을 해도 문제 상황에 아무 지장이 없습니다.(정 의심이 가시면, 0,1,2 상황이나 다른 상황에 대입해도 일반화에 전혀 영향을 주지 않음을 체크 가능합니다.)


자 그럼, 이 두 가지 전제를 생각하고 초기 상태에서 하나하나씩 경우를 나눠보죠. 크게 2회 시행까지는 그냥 쭉 나열해볼 수 있을 겁니다. 더한 뒤에 약속대로 크기순으로 정렬한 결과입니다. 이 결과에 대해서는 직접 써보면서 확인을 할 수 있습니다.



어, 근데 2회에서와 1회에서와 초기 상태 모두 다 보이는 세 자리 숫자가 각각 다릅니다. 무슨 일이죠? 왜 공통점이 없죠? 3회 시행 전에 1회 시행 후 숫자들과 2회 시행 후 숫자들의 규칙을 찾아보죠.


우선 초기 상태와 1회 시행 후 숫자들은 모든 경우에 대해 바로 다음번에 사건 A가 절대 일어나지 않습니다. 그럼 1회에서 생긴 숫자들은 최소 2번은 반복해야 사건 A가 발생하는군요. 


그럼 과연 진짜 2번 이후에 사건 A가 발생하는지 따져보기 위해 2회 시행 후 숫자들을 통해 확인해보죠. 총 3가지 조합인


122

011

002


이 나오는데 각각 중복된 숫자가 아닌 숫자에 1을 더하면

사건 A가 발생합니다. 오, 그럼 다음과 같이 정리할 수 있겠네요.



이 때, 사건 A가 일어나기 위해 필요한 최소 횟수 n번에 따른 숫자들의 집합을 A(n)이라 봅시다. (사건 A가 일어난 상황에서는 A(0)이라 합시다.) 그럼 위에서 나열한 바에서 다음과 같은 결론이 도출됩니다.




A(2)에 물음표를 해둔 이유는, 아직 확실하지 못하지만, 

A(1)에서 A(0)가 되는 상황이 아닐 시 A(1)은 아니지만 다른 상황이 이어지는 게 확실하므로 'A(2)가 아닐까..?' 라는 추측으로 해둔 겁니다. 이를 확실하게 살펴보죠. 우선 A(1)이 A(0)가 되지는 않게 더해봅시다.


아, A(1)이 012 초기상태로 무조건 돌아가는군요! 그럼, 

012 초기상태는 그 다음에 무조건 A(2)가 되므로 A(3)이라고 정의할 수 있겠습니다. 그럼 1회, 2회 시행은 무조건 자동으로 진행되는 상황이고 3회에서 초기 상태로 돌아가느냐 A(0)가 되느냐 갈림길을 거치므로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.


아, 명확합니다! 3회에서 사건 A가 일어나면 문제 조건을 만족하지 못하고, 6회에서 사건 A가 일어나야 하므로 3회에서 

⅔의 확률로 A(3)이 된 후 6회에서 ⅓의 확률로 A(0)이 되는 길만을 택해야 겠네요. 그래서 정답이 어마무시한 숫자가 아닌 두 자리 수인 11이 되는 거네요!


생각보다 굉장히 간단한 원리이지만, 나열을 해보며 집합의 관계를 추론하지 않으면 3×3×3=27가지를 다 나열해야 하는, 상당히 복잡하고 노가다스런 풀이가 생기기 쉬운 문제였습니다. 어때요, 이제 다시 보니 스티커의 원리가 이해가시나요?

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