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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2021-07-02 14:04:03
조회수 4,555

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ

게시글 주소: https://orbi.kr/00038326138

오늘은 제가 그동안 타이핑으로만 쓰던 걸 드디어 그래프랑 엮어서 쓸 수 있게 된 210921 가형 풀이를 써보겠습니다.저도 이거를 그냥 타이핑 수식만으로 보이자니 참 막연했는데, 이제 사진과 한글 캡쳐를 쓸 수 있으니 굉장히 자유롭군요.


문제)



풀이) y=f(x)와 y=g(x)의 교점에 대해 물어봤으므로, 우선 y=f(x)의 치역 범주에서 실수 a의 범위를 생각하고 g(x)의 근 중 g(x)=a의 실근의 존재성을 따져봐야 한다.


실수 a의 범위가 나왔으므로 y=g(x)에서 이 범위 내의 a값에 대해 g(x)=a의 실근이 모두 포함되는지에 대해 따져봐야 한다.

(g(x)=a의 실근 전체의 존재성을 굳이 엄밀히 따지지 않는 것은, 조건에 의해 g(x)=a의 실근 전체에 대한 파악이 아닌 그 중 일부가 f(x)=a에서의 실근을 모두 포함하느냐에 대한 것이기에 실수 a가 구간 [-3,3] 안에 있음만 파악하면 된다.)



y=g(x)와 y=f(x)의 교점 중 가장 작은 양의 실근을 alpha에 대해 먼저 조사해보자.


에서, 연속함수 y=f(x)의 치역 범주는 구간 [1,3]이므로 사잇값 정리에 의해, 


임을 알 수 있다. 이해의 도움 상 그래프를 그려 표현하면 다음과 같이 이해할 수 있다.




y=g(x)를 생각해보면, 위에서 얻은 alpha의 범위를 이용하면

이므로 g(x)=a를 만족하는 실근 x에 대한 두 부류의 일반항


에 대해, 주기가 같은 두 일반항의 임의의 두 실근의 차이의 최솟값 0보다 크고 pi/6보다 작다는 결론을 낼 수 있으므로 두 일반항은 임의의 정수 n에 대해 일치하는 x 값이 존재하지 않아 서로 독립적인 실근의 집합임을 알 수 있다. 이를 같은 원리로 y=f(x)에 대입하면,

이것도 같은 이유로 두 일반항이 서로 독립적인 집합임을 알 수 있고, 임의의 정수 n,m
에 대해,

이 성립함을 알 수 있다. (단, 여기서 주의할 것은 임의의 정수 m에 대한 식에서 이와 1:1 대응하는 정수 n이 항상 존재함을 나타낸 거지, 임의의 정수 n에 대한 식에서 이와 1:1 대응하는 정수 m이 항상 존재함을 나타낸 게 아니다. 사소한 차이로 보여도 이에 대한 이해가 조건에서 제시한 충분조건을 필요충분조건과 혼동 없이 이해했는지를 판가름한다.) (나머지 2가지 케이스에 대해서는 왜 고려하지 않느냐면, m=0, n=0에서 성립하는 두 일반항 묶음에 대해 서로 같은 집합 안에 들어있음을 알 수 있고, 일반항에 대한 두 집합이 교집합이 없는 서로 독립적인 집합임을 위해서 보였으므로 곧바로 위와 같이 정리할 수 있다.) 


이를 정리하면,이 되고, 위의 식은 정수 m,n에 대해, 임의의 정수 m을 대입해도 n도 정수가 되어야 하므로 자연수 k는 12의 약수임을 알 수 있다. (만약 k가 12의 약수가 아닌 수라면, m=1을 대입할 시 nk=12를 만족하는 두 자연수 순서쌍(n,k)에 대한 모순을 이끌어낼 수 있다.)


같은 논리로 아래의 식도 적용하면, k는 6의 약수임을 알 수 있다.



이 두 가지 식을 모두 만족하는 k값에 한해 문제의 조건을 만족하므로 자연수 k는 6의 약수인 1,2,3,6 이 가능함을 알 수 있다.


따라서 조건을 만족시키는 자연수 k의 개수는 4이다.




답을 내는 데는 의외로 간단하지만, 이를 이해하는 논리가 상당히 복잡한 문제였습니다.


rare-경찰 오리비 rare-기출파급 미적분상 rare-기출파급 수학2상 rare-골드바

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Evolved Slave II [872525]

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