미분계수의 정의와 도함수의 극한의 이해 질문
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교과서적 정의에 따르면 미분가능의 정의로 좌미분계수와 우미분계수의 일치를 확인해야 되는데, 예를 들어 흔히들 나오는 3차, 4차함수는(구간별로 정의된 함수의 일부가 아닌) 도함수가 존재하고 도함수가 모든 실수 x에서 연속이란 것이 전제되어 있는 상태라 바로 도함수를 구해 대입해서 미분계수를 구할 수 있지만, 도함수가 존재하지만 도함수의 좌극한과 우극한의 연속이 보장되어 있지 않은 함수같은 경우 그런 식으로 도함수를 구해 도함수극한으로 풀면 오류가 생기기 때문에 도함수의 극한과 미분계수의 정의를 동일시하여 사용하면 안 된다고 하는 것이 맞나요?
미분계수는 결국 극한이기 때문에(정점으로 향한 동점의 이동) 하나의 정지된 값이 아님으로 좌우에서의 움직임 즉 좌미분계수와 우미분계수의 일치로 그 존재성을 따지는 것이겠죠?
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예상댓글:응 팔취
수능 수준의 함수에서
도함수의 극한값이 수렴한다 -> 미분가능(단, 원함수가 연속임을 확인해야함)
도함수의 좌극한값과 우극한값이 각각 존재하지만 일치하지 않는다 - 미분 불가능
도함수의 극한이 뭔가 잘 모르겠지만 +-무한대로 발산한다 -> 깔끔하게 포기하고 미분계수의 정의를 이용
ㅎㅎ 감사합니다! 명료하게 정리해주셔서 마음이 편안하네요 교과서개념으로 따지니 머리가 혼란했는데 구간으로 정의된 함수와 극한값 무한대로 발산해서 부정형 계산해줘야하는 함수(2019 6 21)들만 주의하면 되겠죠?
구간별로 정의된 함수는 그냥 저 원칙대로 하시면 되시고, 도함수 극한이 부정형으로 나오는문제 (예를 드신 바로 그 문제)가 바로 3번 케이스입니다. 그냥 미분계수의 정의 그 자체를 이용하는게 나은 경우입니다.