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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-06-24 19:12:21
조회수 1,335

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(사관 기출)

게시글 주소: https://orbi.kr/00038187311

사관학교 문제 중 수2 내용으로 풀리는 꽤 재밌는 문제를 들고 왔습니다. 한 번 보시죠. 18사관 나형 30번입니다.


아마 다들 절댓값 함수를 써서 직접 그려서 판단하실 겁니다. 그런 거 없이 한 번 풀어보죠. 참고로 (가) 조건에서 b>0 이 조건은 과조건입니다. 그냥 b가 실수라는 조건이 있어도 g(x)<0일 수 없다는 걸 통해 (가) 조건을 통해 바로 b>0이 나옵니다.



풀이) f'(x)=-12x³+12x²+24x=-12x(x²-x-2)=-12x(x+1)(x-2)

f(0)=4, f(-1)=9, f(2)=36이므로 y=4, y=9, y=36에서 극값을 갖는다.


(가)를 통해 f(x)=a+b 또는 f(x)=a-b 교점 개수 합이 4개임을 알 수 있다. g(x)는 f(x)=a인 실근 x에 대해, f'(x)=0이 아닐 경우 미분가능하지 않고, |g(x)-b|는 여기서 f(x)=a+b 또는 f(x)=a-b인 실근 x에 대해서 f'(x)=0이 아닌 실근이 존재할 시 미분가능하지 않은 점이 추가된다. 즉, 요약하면 다음과 같다.


함수 |g(x)-b|이 미분불가능한 실근을 갖는 조건은


1. f(x)=a인 실근 중 f'(x)=0을 만족하지 않는 실근

2. f(x)=a+b 또는 f(x)=a-b인 실근 중 f'(x)=0을 만족하지 않는 실근


1)+2)에서 총 4개가 나오고, 2)에서 실근 전체는 4개임을 알 수 있고, f(x)가 최고차항 계수가 음수인 사차함수이므로 


f(x)=a+b인 실근 개수를 n(A)

f(x)=a인 실근 개수를 n(B)

f(x)=a-b인 실근 개수를 n(C)라 하면, 


1. n(A)<=n(C)

2. n(A)+n(C)=4


임을 알 수 있고, 이를 통해 n(A)<=2, n(C)>=2임을 알 수 있다. 이를 f(x) 개형과 이어서 생각해보면, y>9 또는 y<4에서 n(A)가 성립하고, 이를 통해 a+b>9 또는 a+b<4임을 알 수 있다.


a가 35 이하 자연수이므로 a+b<4이면 


a=1일 때 0<b<3, -2<a-b<1

이 경우, n(A)=n(B)=n(C)=2이고, 각 실수에서 전부 f'(x)=0이 아니므로 (나)에 모순


a=2일 때 0<b<2, 0<a-b<2

a=1에서와 같은 이유로 모순


a=3일 때 0<b<1, 2<a-b<3 

a=1에서와 같은 이유로 모순


즉, a+b>9이어야만 한다.


a+b>9이면 크게 a=4 또는 a=9에서 실근 개수가 달라지고, 작게는 a-b=4 또는 a-b=9, a+b=36에서 또 실근 개수가 달라지므로 케이스를 나눠서 보면,


i) a=4

a-b<4에서, n(B)=3, n(C)=2, n(A)=2임을 알 수 있으므로 n(A), n(B), n(C) 중에 f'(x)=0이 아닌 실근이 4개이려면 n(B)에서 2개를 빼고 n(A), n(C)에서 총 2개가 더 있어야 한다. 근데 이미 n(C)에서 2개를 만족하므로 n(A)에서는 실근 모두 f'(x)=0을 만족한다. 즉, y=a+b을 만족하는 실근 2개에서 모두 f'(x)=0이다. 이는 f(x) 그래프의 극값 개수 가정에 모순이다.


ii) a=9

4<a-b<9에서는, n(C)=4이고 해당 실근에서는 모두 f'(x)=0을 만족하지 않으므로 n(B)에서 당장 모든 실근에 대해 f'(x)=0이어야만 한다. 허나 이는 i)와 같은 이유로 모순이다.


iii) a-b=4

n(C)=3, n(A)=1에서, a+b=36이다. 이 경우에는 n(C)에서 미분 불능점을 2개 확보했으므로 n(B)에서 미분 불능점이 2개 나와야 한다.(n(A)에서는 극점이므로 f'(x)=0임이 자명하다.)

즉, 이는 9<a<=35임을 의미한다. 이는 a=20, b=16이어야 하는 조건에 부합하므로 성립한다.


iv) a-b=9

n(C)=3, n(A)=1에서, a+b=36이다. 2a=45에서, 이는 a 자연수 조건에 위배된다.


iii)에서 a+b=36일 때 상황을 해석했으므로 이를 통해 a+b=36임을 알 수 있다.





물론 이 풀이가 굉장히 복잡하고, 절댓값 함수를 직접 써서 그려 푸는 게 현장에선 실용적일 겁니다. 하지만 이게 어떤 의미가 있을까요? a,b 순서쌍이 여러 가지 생겨도 항상 a+b=36인 걸 알 수 있다는 겁니다. 즉, a+b로 물어본 게 꽤나 의미 있는 상황이라는 거죠.


개인적인 뇌피셜로는, a를 굳이 35 이하 '자연수'라 준 게 이런 곳에서 의미가 있다 봅니다.


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