머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(수2)
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이번 건 저번에 이은 11수능 최고난도 25번입니다. 당시 문이과 공통 문항이었습니다. 다 풀 수 있었어야 했습니다.
해설) f(2^(n+1))-f(2^n)에서, 2^n<m<=2^(n+1)인 자연수 m에 대한 파악을 해야 한다. 우선 f(2^(n+1))=1임은 알 수 있다.
자연수 a가 2^n<a<2^(n+1)을 만족할 때, a는 2의 인수를 0개 가질 수도, 1개 가질 수도, ..., 총 (n-1)개까지 가질 수 있다. 0개일 경우에는 홀수 숫자 그대로 유지된다. 이 블록을 모두 더하면 (2^n+1)+(2^(n+1)+3)+...+(2^n+(2^n-1))=2^(2n-1)+2^(2n-2)=3×2^(2n-2)
i) 2의 인수를 1개 가질 때
a=2×b(b는 홀수인 자연수)=2×(2k-1)(k는 자연수)
2^n<2×(2k-1)<2^(n+1)에서, 2^(n-1)<2k-1<2^n이므로
½×(2^(n-1)+1)<k<½×(2^n+1)이므로 이를 만족하는 k의 개수는 2^(n-1)-2^(n-2)=2^(n-2)이고, 남아있는 블록 개수의 합은
(2^(n-1)+1)+(2^(n-1)+3)+...+(2^(n-1)+2^(n-1)-1)
=2^(2n-3)+2^(2n-4)=3×2^(2n-4)
ii) 2의 인수를 2개 가질 때
i)와 같은 원리로 이를 만족하는 k의 개수가 2^(n-3)임을 알 수 있고, 남아있는 블록 개수의 합은
(2^(n-2)+1)+(2^(n-2)+3)+...+(2^(n-2)+2^(n-2)-1)
=2^(2n-5)+2^(2n-6)=3×2^(2n-6)
...
이와 같은 원리로 2^n<a<2^(n+1)에 대해 f(2^(n+1))-f(2^n)을 파악할 수 있다.
f(2^(n+1))-f(2^n)=1+3(1+4+...+4^(n-1))=4ⁿ이다.
f(2^(n+2))={f(2^(n+2))-f(2^(n+1))}+{f(2^(n+1))-f(2^n)}+....+{f(2²)-f(2¹)}+{f(2¹)-f(2⁰)}+f(1)
=1+(4-1)+(4²-1)+...+(4^(n+1)-1)=-n+4/3×(4^(n+1)-1)
따라서 구하려는 값은 n을 양의 무한대 극한을 보내면
(1/4)/(4/3)=3/16임을 알 수 있다. 따라서 q=3, p=16에서,
p+q=19
계차수열을 모르면서 아는 것 마냥 이웃항 차이의 등차성을 쓰는 건 교육과정 위반으로 봐서 분모를 분자와 비슷하게 변형해보았습니다.
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에이 그래도 그냥 찍어서 풀기에도 답은 똑같이 나오고, 그렇게 막 어렵진 않습니다. 그냥 이것저것 손을 많이 써야 하는 정도?
이게 나열 느낌있게 하면 한번에 보이는
홀수 무한 반복 ㄹㅇㅋㅋ
123456
1 2 3
1
그럼 숙제를 하나 드리죠.
이 문제는 극도로 간단하게 풀면 (4-1)/4²=3/16으로도 풀립니다.
이 풀이가 왜 저 문제의 답과 똑같은 결론이 나올까요? 힌트를 드리자면 단순히 n이 무한대로 가서 되는 게 아니고 모양이 애초에 그렇게 세팅되어 있습니다.
f(2^n)에서 (다시 1이 나오는)한주기 까지 즉 f(2^(n+1))까지 1부터 2^n번째 홀수가 다 나오는데 이렇게 진행하면 f(2^n)와 f(2^(n+1))의 차이는 4:1의 비율을 유지하게 됨(차이 공비가 4인 등비수열) 분모의 경우 f(2^(n+1))는 f(2^n)에 대해 16:1의 비율이기 때문에 (4-1)/16
홀수의 합은 제곱수가 되는데 하필 2^n씩 넘어가는 걸로 설정해서 4^n으로 나오는것 같은데
맞습니다. 프랙탈 구조인 거죠. 출제자가 굉장히 변태스럽습니다.
아무튼 저거 한번에 못 풀었다공…ㅜㅜ수악 시러
핥핥