f ˝(a) = 0 이 아니어도 변곡점이 될수있나요?
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양쪽 이계도함수 부호가 변하는데 f ˝(a) = 0 을 거치지 않고 변해도 변곡점이 될수있나요?
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불가능한것으로 알고 있습니다.
변곡점이면 무조건 일단 이계도함수가 0입니다.
하지만, 이계도함수가 0이라고 해서 반드시 변곡점이 될 수는 없습니다.
물론, 이건 일반적인 경우의 이야기고, 조금 더 파고들면, 이계도함수가 존재하지 않는 경우의 함수의 경우 변곡점은 존재하나 f''(a)=0이 아닌 경우가 존재하겠죠.
그런데 이런 경우를 생각할수가 없군요. (제 머리의 한계인가봅니다.)
"두 번 미분가능한 함수의 변곡점은 2차도함수의 부호가 바뀌는 점이다. 도함수는 중간값 성질을 만족하므로 두 번 미분가능한 함수는 변곡점에서 2차도함수가 0이 된다."
[네이버 지식백과] 변곡점 [point of inflection, 變曲點] (두산백과)
[변곡점에서는 f''(x)=0이다] - 7차교육과정 수학의 정석 (선택 미분과적분) p.144
즉, 포함관계를 생각했을때, f''(x)=0을 만족하는 해의 집합의 부분집합이 변곡점인 해의 집합입니다.
변곡점이면 ㅡ> f''(x)=0이다 라는 명제가 성립.
즉, 포함관계의 경우 변곡점을 만족하는 해의 집합이 f''(x)=0을 만족하는 해의 집합의 부분집합.
즉, 애초에 f''(x)=0이 아닐 경우, 전체집합의 범위를 능가하므로 자연스럽게 변곡점도 아니게 됩니다.
라고 개인적으로 결론지어봅니다. (물론 이는 틀릴 가능성을 내포하고 있습니다.)
[추가] 조사 결과, f(x)의 단일계도함수가 lxl일 경우 f''(a)가 0이 아니지만 변곡점은 존재합니다.
수학의 정석책의 [변곡점에서는 f''(x)=0이다]에 오류가 내포되어있습니다. (이 지적이 몇번 되었다고 합니다.)
즉, 결론적으로 [f''(a)=0이 아니어도 변곡점이 될 수 있습니다.]
아 그렇군요 자세히 알려주셔서 감사합니다 ^^
x|x|
가능한데요 정의가 위로볼록에서 아래로 볼록으로 바뀌거나 아래로 볼록에서 위로볼록으로 바뀌는점이 변곡점인데요 정의 다시 보시길
제 댓글도 다시 보시길 ㅇㅇ
11111재수님이 지적하시기 약 한시간전부터 이미 반례찾고 추가댓글로 정정했습니다.
가설수립 ㅡ> 정의확인 ㅡ> 정의에 부합하는 반례찾기의 형식으로 갔을 뿐, 처음부터 완벽한 가설을 세운적 없습니다.
정의는 과고대비하는 중학생 시절부터 시작해서 학부1학년때 미적분학 배우고 해석학 배우면서 숱하게 많이 봐왔습니다.
p.s. 정의만 다시 본다고 해서 반례가 찾아지는게 아녜요. "정의에 부합하면서" "해당 조건을 거스르는" 예시를 찾는게 목적이죠. 전 "정의는 제대로 부합"했으나 "해당 조건을 거스르나냐?" 이 여부에 관해서만 논의했을 뿐입니다. 제 댓글을 제대로 읽지 않으셨거나 잘못 읽으셨나보군요. (그리고 다 읽지 않으신것은 확실해 보이고요.)
p.s.2 댓글 수정하면 되었을것을 왜 굳이 자가답변을 달아가며 서술했냐면, 그 편이 가설수립 ㅡ> 정의조사 ㅡ> 해당조건확인 ㅡ> 반례제시의 과정을 더 잘 드러낸다고 생각했기 때문입니다.
된다고알고있는뎅
가능합니다...도함수가 그 점에서 미분불가능하면...
하지만 미분가능하다면 불가능하겟죠!
양쪽 도함수 부호가 변하는데 f'(a)=0을 거치지 않고 변해도 극점이 될수있는 거랑 비슷하지 않을까요?
그런것 같군요
됩니다 극값인데 미분값이 0이아닌경우가있잖아요 그걸 생각하시면 될것같아요
이계도함수가 연속이 아니라면야.
올해 파이널실전모의고사 가형 4회 30번에 수록된 문항에 대한 질문인 듯 합니다..
저도 방금막풀다가 문제오류인듯싶어서 찾아보다 왔네요