머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ
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문제 원본 및 풀이: https://youtu.be/C8M_ErBgCV8
오늘은 재밌는 정수론을 해볼 거에요. 문제는 간단합니다.
문제: 자연수 a,b에 대해, (5+3/a)(b+1/2)=19를 만족하는 순서쌍 (a,b)를 모두 구하여라.
풀이) 해당 식을 변형하여 (5a+3)(2b+1)=38a로 볼 수 있다.
2b+1이 홀수이므로 5a+3이 짝수이어야 하므로 a=2m-1(m은 자연수)임을 알 수 있다. 이를 대입하면,
(5m-1)(2b+1)=19a=19(2m-1)에서, 우변은 홀수이므로
(5m-1)도 홀수이므로 m=2n(n은 자연수)임을 알 수 있다.
(10n-1)(2b+1)=19(4n-1)에서, (10n-1)과 (4n-1)이 배수 관계일 수 있으므로 10n-1=q(4n-1)이라 하자.(단, q는 자연수)
q-1=2n(2q-5)이므로 q=2p-1(p는 자연수)꼴임을 알 수 있고,
2(p-1)=2n(4p-7)이므로 n=(p-1)/(4p-7)이므로 p>=2에서 성립함을 알 수 있다.
p>=2인 자연수 p에 대해,
(p-1)/(4p-7)=1/4+3/4(4p-7)이 감소함은 자명하므로
p=2에서 n=1이므로 p>=3에서 자연수 n이 존재하지 않음을 알 수 있다.
p=2에서 q=3이므로 3(2b+1)=19에서, b는 자연수라는 조건에 모순이다. 즉, 서로 배수 관계일 때 성립하지 않는다.
그럼, 10n-1=4n-1 또는 19일 때 성립하므로 n이 자연수 조건 하에 n=2만이 성립한다. 이 때 b=3, a=7이므로 이를 만족하는 자연수 순서쌍 (a,b)는 (7,3)으로 유일하다.
여기서 문제를 살짝 더 확장해보죠. 만약 a, b가 0이 아닌 정수이면 또 다른 근이 생길까요? 있습니다!
(5a+3)(2b+1)=38a에서, a<0인 정수일 경우 5a+3<0이므로 2b+1>0에서 b>0, a>0인 정수일 경우 같은 원리로 b>0이다.
위의 풀이와 같은 맥락으로 (10n-1)(2b+1)=19(4n-1)(단, n은정수)이고, n=0에서 b=9, a=-1이 성립하므로 이를 만족하는 정수 순서쌍은 (-1,9), (7,3)이다.
아마 제가 출제했다면 a+b가 최소가 되게 하는 정수 순서쌍 (a,b)를 구하라고 냈을 것 같네요.
어때요, 정수론 참 쉽죠?
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재밌어 보이네요! 물론 전 아님...
네?
직접 풀어보고 해설보고 싶어서 문제만 본 뒤 낸 생각이예여
4자릿수 자연수의 제곱을 해서 뒤의 네 자리가 자기 자신이 나오는 숫자 구해주세요!
재밌네요 ㅋㅋ
10³<=a<=10⁴-1
10⁶<=a²<=10⁸-2×10⁴+1
10⁶-10³<=a²-a<=10⁸-3×10⁴+2=(10⁴-1)(10⁴-2)
a²-a=k×10⁴이므로 (k는 자연수)
10²-1/10<=k<=(10⁴-1)(10⁴-2)/10⁴이니
100<=k<=997 사이의 수이겠네요.
a의 천의 자리 수를 a(4), 백의 자리 수를 a(3), 십의 자리 수를 a(2), 일의 자리 수를 a(1)라 하자.
a²-a=(a(1)+a(2)×10+a(3)×10²+a(4)×10³)²-a
=a(4)²×10⁶+2a(3)a(4)×10⁵+{a(3)²+2a(2)a(4)}×10⁴+[2{a(1)a(4)+a(2)a(3)}-a(4)]×10³+[{a(2)²+[a(1)a(3)}-a(3)]×10²+[2a(1)a(2)-a(2)]×10+a(1)²-a(1)
a²-a의 일의 자리가 0이므로
a(1)=0, a(1)=1, a(1)=5, a(1)=6 중 하나이다.
십의 자리의 경우,
a(2)(2a(1)-1)+[a(1)²/10]이 10으로 나눠 떨어져야 한다.
a(1)=0이면 a(2)=0, a(3) 영향 없음
a(1)=1이면 a(2)=0, a(3) 영향 없음
a(1)=5이면 a(2)=2, a(3)에 +6
a(1)=6이면 a(2)=7, a(3)에 +7, a(4)에 +5
백의 자리도 같은 이유로
a(1)=a(2)=0이면 a(3)=0
a(1)=1, a(2)=0이면 a(3)=0
아 귀찮 포기 ㅋㅋ