함수의 아래로 볼록 질문합니다(수완 적통 8쪽 8번).
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위 명제는 참이라고 알고 있는데,
문제 풀때 이 명제가 틀린 내용이 나와서요.
수완 적통 8번 8쪽에 ㄷ이 틀렸는데,
사실 부등식에 등호 표기가 없는게 일차적으로 틀린 점이지만,
답지의 반례는 f(a+b/2) > f(a)+f(b)/2
즉, 부등호 방향이 반대인 경우를 제시했더라고요.
이계도함수를 구해보면 주어진 구간에서 이계도함수값이 0보다 큽니다..
어떻게 생각해야 할지..
혹시 x=0에서 이계도함수가 정의되지 않는 것과 관련이 있나요?
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그거 제가 기억하기론 원점에서 그래프 모양이 특이해서 저 명제 틀린거로 알고잇네요..ㅋㅋㅋ제가 기억하는 문제가 아닐수도 있음
저도 잘은모르겠어서 복잡하지만 제방식대로,,ㅋㅋㅋ 원점대칭인점 잡아서 생각했어요
x<0 인곳에서는 f(x)=sinx+3, x>0 인곳에서는 f(x)=x^2+3
따라서 f(-a)=-sina+3 이고 f(a)=a^2+3
그러면 주어진 부등식에 넣어봤을때 3<(a^2-sina+6)/2 라는 식이 나와요. 이걸정리하면 sina0인 어떤 한 점에서 만나고요,
근데 a=파이/2 집어넣어보면 sin(파이/2)>(파이/2)^2 임을 알게되요.. 따라서 구간 0
이 방식도 답지랑 같은 방식이네요.. 반례 외엔 방법이 없을까요?
교과서에서 제시된 명제는
임의의 두 점 P, Q를 이은 선분보다 곡선이 아래에 있으면 아래로 볼록이다
라고 이야기하고 있습니다.
또한 f''(x)>0이면 아래로 볼록이라는 명제를 제시하고 있습니다.
이들 명제가 필요충분인지는 언급이 되어 있지 않습니다. 이 문항은 x=0에서 미분불가능이기 때문에 문제가 생기는 것 같습니다.
교과서에서 제시되지 않은 볼록성 관련 명제는 개형만으로 위치의 상하가 명확히 확인할 수 있는 경우가 아니면,
그래프보다는 식으로 접근해야 하며, 식으로 접근할 때 역시 증명이 불가능한 경우에는 반례를 찾아 거짓임을 확인해야 합니다.
답변 고맙습니다. 그럼 디른 문제에서도 이 문제처럼 f'가 정의되지 않은(마찬가지로 f''도) 점이 있다면 반리를 찾아보면 되겠죠?
그래프 잘그려보시면 알수있어요 각각 그래프로 보면 아래로 볼록이맞지만 전체적으로 보면 위로 뾰족허게 솟아있는 모양이잖아요 ㅎ 임의의 두점 잡아서 그어보고 확인해도 좋구요
그렇게는 저도 알고 있었는데 그럼 정확하지가 않잖아요..ㅠ 눈으로 보는 거니까
0에서 접선기울기 살펴보면 오른쪽게 더 작자나요.. ㅠ 원래 아래로 볼록이면 f''(x)가 양수라서 기울기가 계속증가햐야하는데 증가하다 다시감소햣으이.. 그렇게 보면 언댤꺼요..
근데 x 0에서 f' f"이 정의가 안 되므로 그렇게 따지는건 무리가 있지 않을까요?