대학 수학문제 질문(확통)
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1-1만 알려주실 수 있나요 이거만 알면 되는데... 부탁드립니자.
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정겹고 좋네요~
joint pdf가 f(x,y)=1/2로 주어졌으므로 E(x,y)= int -oo~oo int -oo~oo (xy*f(x,y)) dx dy를 계산하면 됩니다.
이때 범위가 0=<x=<y=<2이므로 나머지 구간에서 확률밀도함수의 값은 0으로 생각할 수 있으며, 따라서 적분구간을 다음과 같이 수정할 수 있습니다.
int 0~2 int 0~y xy/2 dx dy
이 이중적분은 적분구간이 사각형영역이므로 푸비니의 정리에 연속적분으로 바꿀 수 있습니다
(1/2) int 0~2 y (int 0~y x dx) dy
= (1/2) int 0~2 y^3 /2 dy
= (1/4) [y^4 / 4] 에서 y=2 - y=0
= 1 - 0 = 1
참고로 다변량 연속확률변수의 joint pdf(확률밀도함수)를 알고 있을 때 기댓값을 구하는 것은 다음과 같이 할 수 있습니다.
만약 기댓값이 존재한다면(다음의 이상적분의 값이 수렴한다면) E(g(x,y))= int -oo~oo int -oo~oo {g(x,y)*f(x,y)} dx dy
(f: joint pdf, g: 새로 정의한 확률변수)
주신 문제에서는 xy의 기댓값을 구하는 것이므로 새로 정의한 확률변수를 xy로 두고 xy와 f(x,y)를 곱한 것을 적분한 것입니다.
새로 정의한 확률변수가 일반적으로는 문제에서 규하라는 값(제가 올린것에서는 e(xy)를 규하라 햇으니 xy)이겠죠?
ㄴㅔ
아 참고로 적분구간의 영역은 사각형이 아니라 직각이등변삼각형입니다
제가 한번 풀어보고 그 과정을 사진으로 올리면 확인해주실 수 있나요? 도움주셔서 너무 감사합니다
네
제가 푸비니의 정리를 잘 몰라서.. 그냥 혼자 풀어봤는데 저는 어디가 잘못된거죠? 아니면 푸비니의 정리를 모르면 풀지 못하는건가요?
그리고 구간잡는법이 헷갈리네요...
다시 풀어보니!
도와주신대로 풀었습니다 감사합니다 ㅠㅠ
그리고 구간잡는법이 헷갈리네요...dx dy에 맞춰서 x의 최대구간 y의 최대구간으로 하면 되나요?
이게 가끔 헷갈려서...
먼저 주어진 구간에 따라서 적분 순서를 유의하여 작성해야 되고요. 지금 x, y 둘다 유계이므로 이중적분의 결과가 특정값인 상수로 나와야 한다는 생각을 하시면 좀 더 쉬울 거에요.
음 다중적분이나 변수변환 이런 거 익숙하지 않으면 수리통계학 들으실 때 많이 힘드실 거 같은데 방학 때라도 기초 미적분학 공부해놓으시는 걸 추천합니다