[미적분] 선착순 정답 10000덕

매우 재밌는 그래프네요 ㅋㅋ 아주 엄밀하게 쓰기보단 현장에서 풀었을 때 어떤 사고 흐름으로 풀었을지 위주로 써보겠습니다.

원함수인
-(x+4)e^(-x)를 고려하면 x=-3에서 극소이므로
g(x)=-(4+f(x))e^(-f(x))는 최고차항 계수가 음수냐 양수냐에 따라 개형이 달라지나, 둘 다 f(x)가 극값을 가진 지점에서 g(x)가 유일한 극댓값을 가진다는 점에서 같고, (가)를 통해 f(x)=a(x-3)²+b꼴임을 알 수 있다.

다만, g(x)의 극댓값은 b<-4일 때 양수이고, b>-4일 때 음수임을 알 수 있다.

(나)를 통해, M1+MM2=-48<0이므로 최소한 한 구간은 음수이다. 즉, 이를 통해 a<0, b<=-4인 경우는 제외할 수 있다.

M1은 정수임을 '유추'할 수 있고, 이 경우 f(x)=0인 값임을 알 수 있으므로 M1=-4이다.

따라서 M2M=-44이다. g(x)가 극대인 지점의 f(x)의 값을 y', M2인 해당 지점의 f(x)값을 y2라 하면,

y'+y2=0에서, y'=-y2
(y'+4)(y2+4)=-44에서, 16-(y2)²=-44, y2=2sqrt15 또는 -2sqrt15임을 알 수 있다.

이 때, M>M2이므로 a>0임을 알 수 있으므로
y'=-2sqrt15, b=-2sqrt15

허나 이는 모든 계수가 정수라는 조건에 모순이므로 f(x)=-4에서 M1=0임을 알 수 있다.

MM2=-48이므로 같은 원리로 y2=8, y'=-8임을 알 수 있고, f(x)=a(x-3)²-8이다.

M=4e⁸에서, M2=-12×e^(-8)이므로 f(x)=8인 실근 x에 대해 성립함을 알 수 있다.

M1에서 f(x)=-4를 만족하는 실근이 정수임을 알 수 있으므로 a=1에서 x=1 또는 x=5, a=4에서 x=2 또는 x=4임을 알 수 있다.

M2에서 f(x)=8을 만족하는 실근도 정수임을 알 수 있으므로 16과 4에서 ak²(k는 정수)꼴로 모두 제곱수로 가지는 자연수는 a=1로 유일하므로 a=1이고, n1=1, n2=6임을 알 수 있다.

따라서 f(x)=(x-3)²-8이므로 f(0)=1
n1+n2+f(0)=1+6+1=8이다.

6?

6인것 같아용

제가 가지고 있는 답과는 다르네요 ㅠㅠ

8인가요?
n1 n2가 두가지가 나오긴 했습니다

8 정답입니다!
n1, n2 혹시 어떻게 나오셨을까요?
검토 돌렸을 땐 케이스 하나로 결정되었던거 같아서...

f(x)=(x-3)^2-8로 함수는 유일하게 결정되었는데,
n1=1 n2=6인 케이스와 n1=6 n2=-1인 케이스 두가지가 있더라구요
문제 조건을 "서로 다른 두 자연수 n1, n2"라고 수정하면 유일하게 나옵니다!

몇번을 해봐도 n1 n2가 여러 개가 나오네요 그 중에서 제일 그럴듯한 n1=6, n2=-1인 경우로 해서 6이라고 답하긴 했는데, 그래프가 x=3에 대해 대칭 형태라 n1 n2 경우의 수가 1개로 나오지 않는 것 같은데 아닌가요

n1, n2가 6, -1이라면, f(x)는 어떤 식이 나오나요?

일단 f(x)=(x-3)^2-8이 나왔고 이러면 x=3일 때 극대가 되고 극댓값 M=4e^8이 됩니다. 그리고 f(x)=-3일 때 극소가 되는데 그러면 x=3플마루트5일 때 극소이니까 (0, 1), (5, 6) 구간 안에 g(x)가 극소인 점이 있어요. 그러니까 n1=6이라면 [5, 6] 구간에서의 최댓값은 g(5), g(6) 중 큰값이 되고 그건 0입니다. 그리고 n2=-1이면, (-1, 0) 구간에서 g(x)는 감소하므로 최댓값은 g(-1)=-12e^-8이 됩니다. 그러므로 M1+MM2=-48이 되어 조건을 만족합니다. n1이 1 아니면 6이고 n2가 -1 아니면 6이라는 결과가 저는 나왔네요

엇 g(x) 개형에서 f(x) 최고차항 계수가 양수면 g(x)=0인 실근이 x>3에서 안 나옵니다. 여기서 실수가 있으신 듯합니다.

f(x)=(x-3)^2-8이라면 x=5일 때 f(x)=-4니까 g(x)=0이 되는데요 x=5라는 실근이 있습니다만

n1, n2가 자연수라는 조건이 있다면 n1=1, n2=6으로 유일하게 결정되므로 n1+n2+f(0)=8로 8이 정답이 됩니다

n1=(1, 6) / n2=(-1, 6)이고 n1과 n2는 다르므로 (n1, n2)=(1,-1), (1,6), (6,-1) 총 세 가지 경우의 수가 있습니다.

오 1 -1도 있었네요

저도 실제로 풀 때는 처음 빼곤 미분은 안하고 정수 조건 열심히 이용만 했던 것 같네요 ㅋㅋ

미분을 가장한 정수론ㅋㅋㅋㅋ

문제 옮겨 쓰다가 n1<n2 조건이 빠진거 같네요
세분 모두 정답입니다!

이 문제가 수정해서 모고에 들어간 가장 결정적인 이유가 그거기도 합니다.. ㅋㅋ
최초 개형을 위해 한 번을 빼곤 미분을 단 한번도 안써도 되어서... ㅠㅠ

저렙 노프사 수학황 ㄷㄷ

노예님의 풀이대로 (x-3)^2-8이 f(x)인 건 맞습니다만 그러면 g(x)가 자명하게 x=3에 대칭인 그래프가 되므로 n1, n2가 두 개씩 존재할 수밖에 없는 것 같아요

대칭성 고려하면 가능한 조합이 총 4가지가 나오겠네요. n1이랑 7-n1 조합으로...

엇 근데 지금 다시 보니까 f(x)=4(x-3)²-8이어도 되지 않나요. 그럼 (n1,n2)=(2,4), (5,1)이 또 되네요. f(0)=64가 되고

그 경우를 제가 조건 설정하면서 막았던거 같은데...
아마 M1=M2가 되던거 같아요

그거 제가 해봤는데 안 됨요 조건을 만족시키게 할 수가 없어요

그래서 만덕주냐 ㅋㅋ

아무 글도 없으셔서 아무 글이나 하나 써두시면 만덕 보내드릴게요

감사합니다 :D

덕코는 스케딩, Evolved Slave II, 아이즈원 민주 3분께 보내드렸습니다!