(-2)^(1/e)같은 거는 허수인가요?

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-2의 1/2승은 허수고 1/3승은 실수인데 저런거는 어떻게 판별하나요??

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지민수 수학과외 [1020771]

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피 카 츄 · 738994 · 21/05/26 20:15 · MS 2017

오일러 폼에 의하여
-2 = 2exp(iπ)
-> (-2)^(1/e) = 2exp(iπ/e) = 2 (cos(π/e) + i sin(π/e)) -> sin(π/e)=/=0이라서 허수부 계수가 0이 아닌 복소수꼴이므로 실수가 아닙니다.

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피 카 츄 · 738994 · 21/05/26 20:18 · MS 2017

참고로 오일러 형식은 이겁니다

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지민수 수학과외 · 1020771 · 21/05/26 20:19 · MS 2020

선생님 그러면 1/3승은 왜 실수인가요? Sin(파이/3)도 0이 아니지않나요

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피 카 츄 · 738994 · 21/05/26 20:38 · MS 2017 (수정됨)

사실 1/3승도 명백히 실수라 보기 어렵습니다. 지금까지 우리가 실수범위에서 세제곱근을 고려했기 때문입니다. 세제곱근을 찾는 것은 x^3= -2의 3차방정식을 푸는 것과 같습니다. 가우스에 의해 n차 다항방정식은 복소수 범위에서 그 근이 n개 존재함이 규명되었습니다. (-2)^1/3의 경우에는 실수 1개, 실수가 아닌 복소수 2개로 구성됩니다. 1/2승의 경우에는 복소수 2개로만 구성이 되는 것이고요.

다만, 이는 n차 다항식에 관한 것이니 루트의 윗첨자에 2이상의 양의 정수가 들어갈 때만 성립합니다. 저희가 지금 넣으려는 것은 무리수입니다. 따라서 근을 구할 때는 오일러 공식을 활용하는 수밖에 없습니다. 오일러 공식은 아까 말했던 거듭제곱근의 실수가 아닌 복소수근을 발견할 때 사용합니다. 무리수가 들어가게 된다면 실수가 아닌 복소근만 존재하려 이러한 방법으로 밖에 찾을 수 없습니다.

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피 카 츄 · 738994 · 21/05/26 20:43 · MS 2017

실제로 sin(π/3)= root3 /2가 되는 것을 통해서 구한 실수가 아닌 복소 세제곱근과 x^3 +2 =0을 i를 사용하여 복소수 범위에서 인수분해하였을 때 얻을 수 있는 실수가 아닌 복소수근이 동일함을 알 수 있습니다.

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지민수 수학과외 · 1020771 · 21/05/26 23:37 · MS 2020

우와 감사합니다 수학과이신가요?

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피 카 츄 · 738994 · 21/05/27 04:18 · MS 2017

아니에요 저거는 1학년 1학기 초급 미적분학 정도의 지식만 있어도 충분함니다

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