머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(중등 KMO 문제)
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오....이 문제가 이렇게나 흥미로운 토론거리가 될 줄 몰랐네요. 다들 해설이 궁금하신 듯하니 함 해설을 써보겠습니다. 모듈러 연산을 쓰면 정수론 지식으로 풀리기는 하는데, 그냥 평범한 고등학생이 풀려 접근했으면 어떤 식으로 접근했을지 생각하며 작성해보겠습니다. 증명이라 의외로 다들 생각 안 했던 부분도 있을 겁니다.
풀이) m, n이 음의 정수일 경우 둘 중 하나만 음의 정수인 경우가 없음은 자명하다.(정 의심이 가면, 케이스를 나눠 m, n 중 하나로 골라 2가지로 나눠서 하면, 한 쪽은 정수, 한 쪽은 정수가 아닌 유리수가 되므로 모순임을 유도할 수 있다.)
m=7^(-a), n=5^(-b)(단, a,b는 자연수)이라 하면,
7^(-a)=5^(-b)+24이고,
0+24<5^(-b)+24=7^(-a)<7⁰=1에서, 24<1이라는 모순이 발생한다.
즉, m, n은 둘 다 0 이상 정수이다.
7의 거듭제곱을 살펴보자.
7¹=7
7²=49
7³=343
7⁴=2401
7⁵=16807
일의 자리만 봤을 시 7의 거듭제곱은 7,9,3,1,...을 계속 반복함을 알 수 있다.
5의 거듭제곱도 같은 원리로 나열하면 일의 자리가 항상 5임을 알 수 있다.
따라서 7^m-5^n에서, 일의 자리가 4가 되려면 7^m의 일의 자리가 9이므로 m=4k-2(단, k는 자연수)꼴임을 알 수 있다.
24=2³×3=4×6이므로 7^m-5^n은 6의 배수이다.
(6+1)^m-(6-1)^n에서, 7^m을 6으로 나눴을 때 나머지는 항상 1이므로 5^n을 6으로 나눴을 때 나머지가 1이어야지만
7^m-5^n이 6의 배수가 된다.
(-1)ⁿ=1에서, n=2b-2(b는 자연수)꼴임을 알 수 있다.
7^(2k-1)=A, 5^(b-1)=B라 하면, 7^m-5^n=A²-B²=(A-B)(A+B)=24이므로 (A-B), (A+B)가 각각 24의 약수임을 알 수 있다.
이 때, (A-B)+(A+B)=2A에서 24의 약수의 두 합이 짝수일 때만 성립하므로 순서쌍 (A-B,A+B)로 가능한 조합은 (2,12), (4,6), (6,4), (12,2)임을 알 수 있다.
각 경우를 통해 구한 순서쌍 (A,B) 조합은 (7,5), (5,1), (5,-1), (7,-5)이고, B=5^(b-1)(단, b는 자연수)>=1에서, 순서쌍 (A,B)로 가능한 건 (7,5), (5,1)으로 축소된다.
A=5=7^(2k-1)(단, k는 자연수)일 경우, k가 자연수일 경우 성립하지 않으므로 가능한 순서쌍 (A,B)는 (7,5)로 유일함을 알 수 있다.
A²=7²=7^m, B²=5²=5^n에서, 7^m-5^n=24를 만족하는 순서쌍 (m,n)은 (2,2)로 유일함을 알 수 있다.
어때요, 정수론....그냥 단순 산수에 지나지 않죠?
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오 유일하게 이해됨
중학생 KMO 2차 문제라 아마 학생 답안이 이랬으면 이 문항에서 깎일 일은 없을 거다 하고 쓴 거라 최대한 자세히 써봤습니다.
사실 다른 글들은 이해를 안하려고 노력했거든요머리녹는다..좃반고생인나는,,조용히 내신문제집을 꺼내든다..
222 지거국생도조용히,,,낮잠이나자겠습니다
KMO 문제 풀어볼 때마다 초등학생 때부터 중/고캠 금상 은상 받는 친구들에게 경외감을 느껴요..
합동식 오지게 써서 풀었던 기억이.....??
근데 저렇게 풀어도 전혀 문제되지 않네요 ㄷㄷ
수학의 본질은 그 자유로움에 있죠. 최대한 대학 지식을 안 쓰고도 풀어보려 했습니다.
빨리 대학가서 하고싶습니다..ㅜㅜ
아 ptsd ㅋㅋㅋㅋ 중학교때 어케 2차 봤는지 기억도 안나네 ㅋㅋㅋㅋ
머리가 안식혀져요