머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(중등 KMO 문제)

오....이 문제가 이렇게나 흥미로운 토론거리가 될 줄 몰랐네요. 다들 해설이 궁금하신 듯하니 함 해설을 써보겠습니다. 모듈러 연산을 쓰면 정수론 지식으로 풀리기는 하는데, 그냥 평범한 고등학생이 풀려 접근했으면 어떤 식으로 접근했을지 생각하며 작성해보겠습니다. 증명이라 의외로 다들 생각 안 했던 부분도 있을 겁니다.

풀이) m, n이 음의 정수일 경우 둘 중 하나만 음의 정수인 경우가 없음은 자명하다.(정 의심이 가면, 케이스를 나눠 m, n 중 하나로 골라 2가지로 나눠서 하면, 한 쪽은 정수, 한 쪽은 정수가 아닌 유리수가 되므로 모순임을 유도할 수 있다.)

m=7^(-a), n=5^(-b)(단, a,b는 자연수)이라 하면,

7^(-a)=5^(-b)+24이고, 

0+24<5^(-b)+24=7^(-a)<7⁰=1에서, 24<1이라는 모순이 발생한다.

즉, m, n은 둘 다 0 이상 정수이다.

7의 거듭제곱을 살펴보자.

7¹=7

7²=49

7³=343

7⁴=2401

7⁵=16807

일의 자리만 봤을 시 7의 거듭제곱은 7,9,3,1,...을 계속 반복함을 알 수 있다.

5의 거듭제곱도 같은 원리로 나열하면 일의 자리가 항상 5임을 알 수 있다.

따라서 7^m-5^n에서, 일의 자리가 4가 되려면 7^m의 일의 자리가 9이므로 m=4k-2(단, k는 자연수)꼴임을 알 수 있다.

24=2³×3=4×6이므로 7^m-5^n은 6의 배수이다.

(6+1)^m-(6-1)^n에서, 7^m을 6으로 나눴을 때 나머지는 항상 1이므로 5^n을 6으로 나눴을 때 나머지가 1이어야지만 

7^m-5^n이 6의 배수가 된다.

(-1)ⁿ=1에서, n=2b-2(b는 자연수)꼴임을 알 수 있다.

7^(2k-1)=A, 5^(b-1)=B라 하면, 7^m-5^n=A²-B²=(A-B)(A+B)=24이므로 (A-B), (A+B)가 각각 24의 약수임을 알 수 있다.

이 때, (A-B)+(A+B)=2A에서 24의 약수의 두 합이 짝수일 때만 성립하므로 순서쌍 (A-B,A+B)로 가능한 조합은 (2,12), (4,6), (6,4), (12,2)임을 알 수 있다. 

각 경우를 통해 구한 순서쌍 (A,B) 조합은 (7,5), (5,1), (5,-1), (7,-5)이고, B=5^(b-1)(단, b는 자연수)>=1에서, 순서쌍 (A,B)로 가능한 건 (7,5), (5,1)으로 축소된다.

A=5=7^(2k-1)(단, k는 자연수)일 경우, k가 자연수일 경우 성립하지 않으므로 가능한 순서쌍 (A,B)는 (7,5)로 유일함을 알 수 있다.

A²=7²=7^m, B²=5²=5^n에서, 7^m-5^n=24를 만족하는 순서쌍 (m,n)은 (2,2)로 유일함을 알 수 있다.

어때요, 정수론....그냥 단순 산수에 지나지 않죠?