역함수에 대한 간단한 질문드려요~!
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y = f(x) 의 역함수가 존재하려면 f(x) 함수가 일대일 대응이어야 하잖습니까...?
그러기 위해선 f(x)가 단조증가함수이거나 단조감소함수여야하고 따라서 f'(x) ≥ 0 이거나 f'(x) ≤ 0 이어야한다 라고 알고있는데...
흔히들, 그래프상에서 y = f(x)의 역함수를 구할 때, y=f(x)의 그래프가 일대일 대응함수인지 별로 신경 쓰지않고 그냥, y=x 의 그래프를 그려서 그것을 기준으로 대칭시켜서 역함수를 구하잖아요
예를 들면, y=x(x-1)(x+1) 의 역함수를 그래프에서 구할 때, y=x(x-1)(x+1)이 일대일 대응함수가 아님에도 그냥 y=x의 그래프에 대칭시켜서 구하시잖아요? 원칙상으로는 잘못된 거 아닌가요?
아니면, 구간을 각각 따로 정해서 역함수를 구한 후 그래프에 옮기는 과정이 y=x에 대칭되게 그린 것과 똑같기 때문에, 그냥 암묵적으로 그렇게 하는 건가요?
y=x(x-1)(x+1)를 계속 예로들면, x≥ 1/root 3 인 부분과 -1/root 3 ≤ x ≤ 1/root 3 , x ≤ -1/root 3 인 부분으로 나눠서 각각의 역함수를 구한 후 그래프에 옮긴게 그냥 y=x의 그래프에 대칭시킨것과
같게 나오기 때문에 이를 확장시켜 일반적으로 일대일대응함수가 아닌 함수도 y=x에 대칭하는 방식으로 역함수를 그래프상에서 구하는 건가요?
제가 일대일함수,일대일대응함수 부분과 역함수 부분을 공부할 때 대수롭지 않게 여기고 그냥 훅 넘어가서 오개념이 많은 것 같네요.
위의 제 질문 내용 중 오개념이 있다면 꼭 좀 지적해주세요! 부탁드리고 글 끝까지 읽어주셔서 감사합니다^^
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일단 그리는게 효율적입니다. 역함수가 존재하지 않는 함수를 대칭시키면 그려진 그래프는 함수가 아니게됩니다. 정의역 하나에 두 개 이상의 치역이 대응되어 함수의 정의를 만족하지 못합니다.
네... 제가 가정했던 거랑 비슷하군요. 감사합니다^^
님이예시로든함수가 역함수가존재하지않는함수인데용.... 그런함수가주어질땐 보통 극대에서극소까지 범위가 주어져용
제 질문내용 중 6번째 줄에
y=x(x-1)(x+1)이 일대일 대응 함수가 아님에도
라는 부분이 '역함수가 존재하지 않는다'와 같은 말 아닌가요^^??
그리고 y=x에 대칭해도 역함수가 되지않는 케이스도 있어요 지금생각하니 기억은안나지만...ㅋㅋ
혹시 생각나시면 답변 추가 좀 부탁드려요^^
y=-x
아, 이게 y=x에 대칭해도 역함수가 되지 않는 케이스라는 건가요?
그런데, 우선, y=-x 는 단조감소함수고 역함수가 존재하는데
역함수 자체가 y=-x 로 나오므로 y=-x 역시 y=x에 대칭해도
역함수가 되지 않는 케이스로 보긴 어렵지 않을까요 ㅠ?
역함수가 존재하려면 일대일대응 이어야 합니다.
그리고 꼭 f(x)가 단조증가이거나 단조감소여야 할 필요는 없어요.
f(x)가 구간 (-∞,0), (1,∞) 에서 f(x)=x이고, 구간 [0,1]에서 f(x)=-x+1로 정의될 경우에도 역함수는 존재합니다.
그리고
"예를 들면, y=x(x-1)(x+1) 의 역함수를 그래프에서 구할 때, y=x(x-1)(x+1)이 일대일 대응함수가 아님에도 그냥 y=x의 그래프에 대칭시켜서 구하시잖아요? 원칙상으로는 잘못된 거 아닌가요?"
이 그래프의 역함수를 구해야하는 문제가 있다면 그건 잘못된 문제입니다.(아마 구하라 했다면 일대일대응인 구간을 줬겠지요.)
님이 말씀하신 '역함수가 존재하는 구간' 마다 y=x 대칭시켜서 "다시 합친 그래프"는 정의상 원함수의 역함수가 아닙니다. 그냥 원래그래프를 y=x 대칭시킨 '도형' 이죠.
감사합니다:) 의문이 풀렸어요^^