여기서 무연근이 생기는 이유??

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제 생각에 이 두 방정식의 교점은 두 개 인데 두 교점 모두 x좌표가 같은데요 그래서 두 식을 연립해서 x에관한 2차식으로 만들고 판별식 D=0 일 줄 알았습니다. 하지만 결과는 제 생각과 많이 다르더군요
두 식을 연립하면
16x^2 -200x +225 =0 식이 만들어지고 D>0 이고 두 근이 생깁니다.
여기서 한 근이 진짜 여기서 x좌표 인것은 대충 알겟습니다. 하지만 어느 방정식에도 속할수 없는 무연근은 왜 생기는 것일까요ㅠㅠㅠ 궁금~

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완전재수없다 [445800]

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일타삼피 · 424982 · 13/05/14 00:13

타원과 원의 윗부분만 봅시다(반쪽). ←어짜피 아랫부분만 봐도 양쪽 모두 부호가 바뀌기 때문에 윗부분만 볼 때랑 같은 결과입니다.
그럼 타원의 경우 y=9×루트(1－x^2/25) 가 되고, 원은 y=루트(16－(x－4)^2) 가 되죠.
그리고 루트 안은 양수이기 때문에 타원에서 x의 범위, 원에서의 x의 범위를 구하면 0＜x＜5 가 나올 겁니다.
그런데 이 방정식을 풀때 루트가 있으니까 제곱을해서 같다고 놓고 풀어야해요.
제곱을 하는 순간 위의 범위(0＜x＜5) 는 필요가 없어집니다. 루트가 벗겨지기 때문에.
그래서 무연근이 생깁니다.

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완전재수없다 · 445800 · 13/05/14 00:35 · MS 2013

음 일단 댓글 감사하고요.. 근데 제가 여기서 중점을 둔 것은 식을 계산하는 과정에서 무연근이 나온다가 아니라 두 방정식을 연립한다는 과정에서 왜 두 방정식에는 성립하지않은 x값이 나오냐는 것이죠.. 이상하지않나요??
분명 타원위점-원위의점 연립인데 두 그래프위에 있지않는 x값이 나온다는 것에서 궁금하다는 것입니다.!

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일타삼피 · 424982 · 13/05/14 20:32

분명 타원위점-원위의점 연립인데 두 그래프위에 있지않는 x값이 나온다는 것에서 궁금하다는 것입니다.! ← 결론부터 말씀드리자면 여기서 무연근을 x좌표로 하는 점은 두 그래프에는 없지만 두그래프의 제곱의 연장에는 있습니다.

두 방정식을 연립한다는 과정에서 왜 두 방정식에는 성립하지않은 x값이 나오냐는 것이죠.. ← 여기에 태클을 걸자면 두 방정식에서 성립하는 근입니다. 아마 무연근이 x＝45/4 일텐데 이 값을 9×루트(1－x^2/25)=루트(16－(x－4)^2) 에 대입해보면 값이 같습니다. 단지 그 값이 허수일 뿐이죠.. 그런데 우리가 저 그림을 보고 할 일이 좌표평면상의 점(교점)을 찾는 것이기 때문에 x값과 y값을 모두 실수로 하는 근만 찾아야 하는 것이죠. 두번째 근도 근입니다. 좌표평면상의 교점을 찾는 문제가 아니라 "실근을 구하라는 말이 없는 방정식 9×루트(1－x^2/25)=루트(16－(x－4)^2) 을 풀라는 문제"라면 두번째 근도 써줘야합니다.

무리함수와 직선의 교점 구하실 때 나오는 무연근은 좌표평면에 표시할 수 있습니다.
예를들어 y＝루트(x), y＝x－2 의 교점을 구한다 했을때 방정식을 풀면
x＝1, 4 가 나와요. 그런데 루트(x)=x-2 라는 방정식에서 x로 가능한 범위가 x＞2 이죠. 따라서 x＝4 만이 교점의 x좌표입니다.
그럼 x＝1은 무엇일까 하는 건데요. 이건 y＝루트(x)는 포물선의 반쪽인데 이를 제곱하면 포물선 전체의 식이 나옵니다. 따라서 나머지 반쪽포물선과 교점의 x좌표가 바로 1이지요. 즉,－루트(x)＝x－2 의 근입니다.
이 경우 x＝1은 무연근이지만 루트 안을 음수로 만들지 않아요. 따라서 억지로 반대쪽 포물선을 그리면 무연근을 좌표평면상에 표시할 수 있죠.

하지만 님이 질문하신 문제의 경우 나오는 무연근은 81×(1－x^2/25)＝16－(x－2)^2 의 근 중 하나인데 이값은 원래 방정식의 루트 안을 음수로 만듭니다. 따라서 도형 y＝9×루트(1－x^2/25) 혹은 y＝루트(16－(x－4)^2) 에서 그 무연근을 x좌표로 하는 점을 좌표평면상에 나타낼 수 없어요.
위 그림에서 타원이 윗부분의 제곱(위로 볼록한 포물선)과 원의 윗부분의 제곱(마찬가지로 위로볼록한 포물선) 을 그려보면 교점이 하나 생깁니다. (각각 루트 안을 양수로 만드는 x의 범위 안에서 그릴 때) 단, 이 두 도형을 조금 더 연장해서 그리면 교점이 하나 더생기죠. 그게 무연근이에요.
조금 장황하게 설명하긴 했지만 무연근은 그 의미를 따질 필요가 없습니다. 이렇게 무연근이 생기는 위치가 어딘지, 또는 그 의미가 무엇인지 좌표평면상에서 확인해보려는 건 호기심은 채워줄 지 모르겠지만, 한번 듣고 넘기고 철저하게 수식으로만 푸시는 걸 추천드려요. 너무 피곤해져요.;ㅋㅋ

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완전재수없다 · 445800 · 13/05/14 22:47 · MS 2013

아아 ㅇㅋㅇㅋ 제가 뭘 놓쳤는지 알겠네요~ 긴 글 감사드립니다~^^

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독수리5형제 · 163276 · 13/05/14 01:33 · MS 2006

우선 후자의 식은 전자의 식의 필요조건이지 충분조건이 아닙니다.

그리고 이차 이상의 방정식은 항상 허근의 위험이 있습니다. 좌표평면은 도형의 방정식을 만족하는 실수 순서쌍의 흔적만을 보여줍니다. 그러니 문제는 보이지 않는 곳의 교점(?) 이랄까요?

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