Inspector Javert [1005325] · MS 2020 · 쪽지

2021-02-23 19:42:10
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기하 칼럼)ASS 준-합동에 대하여

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개인적으로 이름 붙이는거 진짜 싫어하는데

이건 마땅히 부를 게 없어서 이름 붙였습니다

그냥 가르치다가 얘기한거 정리해 봄


준-합동에 대하여.


합동 공식은 잘 알려져 있듯이

ASA, SAS, SSS가 있다. 

이것이랑 다른 조건으로는 AAS와 ASS가 있는데, AAS의 경우 ASA와 동치이므로(내각의 합이 일정하므로) 무관하지만, ASS의 경우 흥미롭게도 완전히 합동의 조건이 아니라고 볼 수는 없고, 특정 경우에 합동이 되는 조건을 완전히 만족한다. 이에, 나는 ASS를 준-합동 조건이라 명명하고, 그에 대한 교육학적인 검토를 진행해 보았다.


우리가 ASS 준-합동(엉덩이아님 ㅎ), 즉 하나의 각과 그에 이어지는 두 개의 변의 길이가 주어진 경우를 검토할 때, 다음 그림처럼 OA를 긋고(S), 각 BOA를 설정하고(A), A를 중심으로 원을 그려서 길이 AB까지 설정해 주면(S) 두 가지 경우의 수가 나온다. 




                                                                       (1)







 


                                                                                 (2)



(1) 의 경우, 교점은 B와 C의 두가지가 나오지만, ∠COA의 경우 180°-∠BOA 가 되어 각 하나가 동일하다는 조건을 사실은 만족시키지 못한다. 이 경우, 즉 AB>OA 인 경우, ASS 합동은 성립한다. 


하지만 (2) 의 경우, 교점이 B와 C의 두가지가 나오고, ∠COA의 경우에 ∠BOA와 같기에 가능한 삼각형이 2개가 되어 합동 조건을 만족할 수 없게 된다. 


이 준합동은 기본적으로 사인법칙에 의해서 그 근거가 마련된다.


ASS 준-합동의 작도는 각 ∠COA를 잡고, 그 ∠COA를 원주각으로 하면서 길이 조건을 만족하는 현을 찾는 과정이라고 요약할 수 있다. sin(π-θ)=sin(θ) 이므로 (1)의 경우와 같이 

∠COA=180°-∠BOA인 경우가 나오기도 하는 것이다. 

결국 정리하자면 


삼각형의 각 변의 길이의 비율, 즉 AB>OA, AB<OA, AB=OA 인 것, 그리고 OB⊥AB 인 것에 대해서 각각의 상태가 정해진다. (어느 정도는 직접 해 보기 바란다.)


이는 결론적으로 ASS에서 마지막 S가 ∠AOB의 대변의 길이를 제공하고, 이것은 사인 법칙에 의해 삼각형의 외접원의 반지름 길이를 제공하는 꼴이 된다는 것이다.


이렇듯 이런 점에서 보면, 그리고 (1) 의 경우를 봐도, 작도에서 각 옮기기 라는 행위는 이 시점에서는 각의 길이로서의 의미에 해당한다고 할 수 있다.(사인법칙이므로. 각에 따른 현을 나타내는 행위이므로.) 


다만 각 옯기기가 항상 길이로 이해되는 것은 아니며, 기울기로 이해되는 ASA와 같은 경우도 있다. 


재미있는 것은 경우 (2)의 경우, 필자가 알기만으로도 상당한 사설 문제에서 저런 형태가 출제된 바가 있다는 것이다. 


이처럼 ASS 준-합동 같은 이름마저 어색한 내용이라면 

그 내용을 학습뿐 아니라 문제 출제에도 쉽게 활용할 수 있다는 사실을 알 수 있다. 








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