실력정석 수2연습문제 6-7입니다. 답지봐도 모르겠네요..

Question

일단 문제 푸실분은 밑으로 내리지 마시고 풀어보세요.
1달전부터 실력정석 보고있다가 답지봐도 모르겠다는 문제는 첨보네요..

a1 > a2 > a3 > ... > an 일때, 다음 방정식의 실근의 개수를 구하여라.

1 / ( x - a1 ) + 1 / ( x - a2 ) + 1 / ( x - a3) .......... + 1 / ( x - an ) = 0

여기까지가 문제이고 밑에는 답이 있으니 보실분은 보세요.

제가 답내린 방식은 이렇습니다.

a1 > a2 > a3 > ... > an

f(a1), f(a2) 등은 분모를 0 으로 만들기 때문에 정의 되지 않습니다.

자 그래서 a1과 a2 사이에 있는 어떤 임의의 C값을 잡아서 보겠습니다.

C가 a1-0 에 가까워지면, f(x)는 무한소,
C가 a2+0 에 가까워지면, f(x)는 무한대,

이렇게 해서 a1과 a2 사이에는 연속이라 근이 최소한 1개 생긴다.

같은 방법으로 매 구간마다 최소한 근이 1개 생긴다.

x가 an 보다 작은값을 넣는경우 f(x)는 항상 음수이므로 근이 없다.
x를 a1보다 큰 값을 넣는경우 f(x) 는 항상 양수이므로 근이 없다.

그러나 f(x)는 전개를 하였을시 분자가 n-1차 방정식이 된다.

그래서 근은 n-1개 라고 결론을 내렸습니다. 사실 이건 방금 글쓰면서 생각나서 쓴 풀이 입니다;

질문 1번. 제 풀이에는 혹시 틀린점이 있나요??

f(x)= ∑ 1/ x-ak 로 놓으면
g(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)f(x) 는 n-1차 다항식이다.

g(a1) = (a1-a2)(a1-a3).... (a1-an) >0
g(a2) = (a2-a1)(a2-a3).... (a2-an) <0
g(a3) >0
g(a4) <0

양과음이 이렇게 번갈아 일어나므로

최소한 g(x)는 n-1개의 근이 생긴다.

그런데 g(x)는 n-1차 방정식이므로 실근은 n-1를 초과해서 가질수 없다. 따라서

f(x) = 0의 실근의 개수는 n-1개 이다.

제가 모르는 부분은 여기입니다.

질문 2번.

g(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)f(x) 라고 하였는데

g(1) 이 왜 (a1-a2)(a1-a3).... (a1-an) 이 되는가 입니다. 저도 비슷한 방법을 생각해보았으나 밑에 처럼 전개되어서 포기했더랫죠..

f(x)를 직접 넣어봐도 항이 무수히 많이 나오고 저렇게 하나의 항으로 나오지 않고 항이 여러개가 나오네요.

또한 문제가 f(a1), f(a2)등은 분모를 0으로 만들어서 정의되지 않는데...

일일이 전개하면 제생각엔 이렇게 될거같은데 말이죠 ...

g(x) ={ (x-a2)(x-a3)(x-a4)...(x-an)} +{ (x-a1)(x-a3)(x-a4)...(x-an) }+ {(x-a1)(x-a2)(x-a4)...(x-an)} .... + { (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an-1) }

여기서 g(a1)는 n이 짝수냐 홀수냐에 따라 음 + 양 + 음 + 양 + 음.. 또는 양 + 음 + 양 +음 ... 이 번갈아 가는 합 모양이라서 양인지 음인지 확실치 않아 포기했습니다.

이거 어떻게 풀어야하나요?

뭔가 될듯 하면서도 안되고... 내일 아침에 보면 될것도 같은데 정말 궁금해서 잠도안오네요

ictteru_ · Accepted Answer

기하학적 접근법 1)

a1 > a2 > a3 > ... > an 

그리고 

1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) = 0 의 근은

y = 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 의 x축과 교점의 개수와 같고,

y = 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 는

y = 1/(x - a1), y = 1/(x - a2), y = 1/(x - a3), ..., y = 1/(x - an) 이렇게 n개의 유리함수를 더한 개형입니다.

이렇게 기하학적으로 y = 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 를 보면 당연한 얘기죠.


기하학적 접근법 2)

1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) = 0 의 근은

f(x) = (x - a1)(x - a2)(x - a3)...(x - an) 이라 할 때

그 도함수인 f'(x) = 0 의 근과 같은 집합을 이룹니다. 

(이 내용을 대놓고 물어보는 문제들도 많고,

실력 정석의 이 문제를 풀어보고 이러한 깨달음을 얻는게 보편적인듯;;;)

가령 f가 n차 함수라면

f'이나 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 의 차수가 같습니다.

문제는 분모를 0으로 만들어버리는 무연근인데,

a1 > a2 > a3 > ... > an 이란 조건 때문에

절대로 무연근이 생기지 않습니다.

f의 극대,극솟값이 0이 아닌 값일 때, 미분하면 그 지점에서 0을 갖죠.

f의 극대,극솟값이 0이라면 f가 x축에 접한다는 얘기고

적어도 (x - ak)²을 인수로 갖고 있기에 f를 미분해도 (x - ak)라는 인자가 사라지지 않고,

1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 에서 문제를 일으킵니다만,

a1 > a2 > a3 > ... > an  때문에 그런 일은 없습니다.ㅎ

ictteru_ · Answer

첫번째 질문.

나름 괜찮은 생각인데, 차수가 1만큼 줄어든다는 것만 염두에 두고 푸시면 되겠네요.


두번째 질문.

정석 풀이가 잘못됬습니다 ㅎ

가령, f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 라는 함수와 g(x) = x + 1 이라는 함수가 완전히 똑같지 않습니다.

f(x)에선 불연속점 부분에서 정의되지 않죠.

그런데 떡하니 정석에선 그 값을 대입해놨네요.

정석에도 해설 미스가 있기는 있습니다;;;


암튼 이 문제를 통해서

a1 > a2 > a3 > ... > an 일 때

f(x) = (x - a1)(x - a2)(x - a3)...(x - an)의 도함수 f'(x)가

g(x) = 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 과

동일한 함수는 아닐지라도

해집합은 같다는 점만 캐치하고 넘어가시면 충분할 듯 싶네요.

실력정석 수2연습문제 6-7입니다. 답지봐도 모르겠네요..

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