자작문항/수학2 - 3
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(나) 조건이 개인적으로 많이 아쉬운 문제입니다.
문항 번호는 신경쓰지 마세요.
내렸습니다
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옯붕이 혼코노
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???: 이 문제는 10번에 있으면 참 좋을 듯해요
근데 그래프 그리면 저 개형 뭔지는 알겠는데 그래프의 유일성에 대한 증명도 가능할까요?
(나)에 의해 h(x)=f(x)-g(x)가 x=3에 대해 대칭이고 이를 h(x)=(x-3)^4+m(x-3)^2+n으로 표현 가능하다.(단, m,n은 실수)
h(x)=0인 실근이 x=a 또는 x=b 또는 x=7이므로 다음과 같은 방정식을 이끌어낼 수 있다.
16m+n=-256....(1)
m(a-3)^2+n=-(a-3)^4....(2)
m(b-3)^2+n=-(b-3)^4....(3)
(3)-(2)에서, m{(b-3)^2-(a-3)^2}=-{(b-3)^2-(a-3)^2}{(b-3)^2+(a-3)^2}이므로
(a+b-6)(b-a)(m+(b-3)^2+(a-3)^2)=0에서
a+b=6 또는 m=-{(b-3)^2+(a-3)^2}이다.
(3)-(1)에서, 256-(b-3)^4=(b+1)(7-b)(16+(b-3)^2)=m(b+1)(b-7)이므로
(b+1)(b-7)(m+16+(b-3)^2)=0에서
b=-1 또는 b=7 또는 m=-{16+(b-3)^2}이다.
(2)-(1)에서도 같은 원리로 m{(a-3)^2-16}={16-(a-3)^2}{16+(a-3)^2}, (a+1)(a-7)(m+(a-3)^2+16)=0에서
a=-1 또는 a=7 또는 m=-{(a-3)^2+16}이다.
위의 3조건을 만족하는 a,b에 대해 ab이므로 가정에 모순이므로 성립하지 않는다. 따라서 a=-1, b=3일 때의 그래프로 유일하게 결정된다.
증명가능하네요.
아....지금 보니까 적분에 대한 식이 다 사라졌습니다. 그거도 썼는데 그냥 저거 적분한 값으로 묶어서 0 만들고 (b-3)으로 묶고 (a-3)으로 묶고 a=3이 나올 땐 a