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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2020-12-24 18:33:51
조회수 1,246

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(수능용)

게시글 주소: https://orbi.kr/00034251926

올해 9평 21번(가형)입니다. 난이도 자체는 헬은 아닌데 선대칭 생각 안 하고 그냥 손부터 대고 예쁘게 그래프 그리기 들어갔으면 제법 헬게이트였을 거에요. 저도 당시에는 문제만 읽어보고 댓글 내려가서 보다가 12의 약수라는 댓글 보고 답 4번인 줄 알다가 지금 처음 풀면서 답 2번인 거 앎 ㅋㅋㅋㅋ


지금 풀이 써두고 오르비에 이전에 다른 분들이 쓴 칼럼 찾아보니 사실상 거의 같은 풀이라 저만의 풀이라고 하기는 좀 그러네요. 그냥 풀 때 생각했던 단계 하나하나 나열해서 써보겠습니다.


g(x)는 그래프가 확정이니까 '원래대로면' g(x) 기준으로 대칭축이든 대칭점을 생각해야 한다. 근데 조건을 보면 f(x)=a를 만족하는 실근 x에 대해 항상 g(x)=a도 만족한다는 거니 역은 성립하지 않을 수 있으니 f(x)를 기준으로 대칭축이나 대칭점을 고려할 준비를 해야 한다.


f(x)의 주기는 2pi/k이고, y=sinkx는 x=(2m-1)pi/2k (단, m은 정수)에 대한 선대칭함수이므로 sinkx+2=3cos(12x)를 만족하는 가장 작은 양의 실근 b1에 대해 sink(b1)+2=a를 만족하면 sink((2m-1)pi/k-b1)+2=a도 성립한다.(단, m은 정수)


따라서 cos(12b1)=cos12((2m-1)pi/k-b1)=cos(12(2m-1)pi/k)cos(12b1)+sin(12(2m-1)pi/k)sin(12b1)이 성립한다. 이를 정리하면,


cos(12b1){1-cos(12(2m-1)pi/k)}=sin(12b1)sin(12(2m-1)pi/k)이 되고, 양변을 제곱 후 sin꼴로 정리하면, (b1이 가장 작은 양의 실근이므로 cos(12b1)>0, {1-cos(12(2m-1)pi/k)}>=0, sin(b1)>0이 성립하므로 제곱해도 해의 개수와 값 모두 동일함. 이에 대한 증명은 자명하므로 생략한다. 굳이 증명하고자 하면 0<b1<pi/2k임을 보이면 된다.) 


(1-cos(12(2m-1)pi/k)){1-2sin^2(12b1)-cos(12(2m-1)pi/k)}=0이 성립한다.


따라서 i) cos(12(2m-1)pi/k)=1 또는 ii)cos(12(2m-1)pi/k)=cos(24b1)이다.


i) cos(12(2m-1)pi/k)=1

1=cos(2lpi)(단, l은 0이 아닌 정수. 원래 l은 정수이지만 12(2m-1)=/=0이므로 0은 제외)이므로 6(2m-1)/k=l이 성립한다.

임의의 정수 m에 대해 해당 식이 항상 성립해야 하므로 k는 6의 약수이어야 한다.(6의 약수가 아닐 시 l이 0이 아닌 정수 조건에 대해 모순) 따라서 이를 만족하는 자연수 k는 1,2,3,6 총 4개이다.


ii) cos(12(2m-1)pi/k)=cos(24b1)


해당 실근은 k에 대한 조건이 아닌 상수 b1에 대한 조건이므로 고려 대상이 아니다. 특수해 b1에 대한 조건이다.



따라서 i), ii)에 의해 이를 만족하는 자연수 k의 개수는 총 4개이다.


엄밀히 풀려면 꽤나 고생했을 법한 문제네요.

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