행렬 진위 판정 문제
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A B 는 이차정사각행렬 이며 (AB)의 제곱 = A 의제곱곱하기B의 제곱 이고 A의 역행렬이 존재할때
B*A 역행렬= A역행렬*B 이다
좀 풀어주세여 ~ 맞으면 맞고 틀리면 왜 틀린지 이유랑 풀이과정도 적어주세요
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A약분해보면 (AB-BA)B=O ----> AB=BA ?? 를 진위판정하는 문제와 동치입니다.
이는 거짓입니다. B=(0 1 // 0 0), A=(1 0 // 0 0) 생각해보시면 됩니다.
이미 님 말씀대로 A 의 역행렬은 존재해요
사실 학교에서 처음풀때 (AB)의 제곱 = A 의제곱곱하기B의 제곱 -->는 AB=BA
라고 생각하고 풀었고 제 친구들도 그렇게 풀어서 답이 잘못된줄 알았는데,
이게 syzy님이 동치라고 제시한걸로 이해하니까 정말 쉽게 이해되었네요
고마워요 ~~
A =( 0 1 / 1 0 ) B= (1 0 / 1 0) 반례요 틀렸어용.
문제를 보자마자 반례가 떠오르는 경지까진 안가서 그런데,..
반례 말고 다른 방법은 없나요?
더군다나 시험에선 떨려서
반례로 풀어야지 조차도 생각이 안나는데ㅠㅠ
syzy님 반례는 A가 역행렬이 없어서 안될것같아요.
아 그러네요
ㅋㅋㅋㅋㅋ참인거같은데용 첫번째 조건 때문에 교환법칙이 성립한다고 할때 그 문제에 양쪽에 A를곱하면 A곱B곱A역행렬=B이고 교환법칙이 성립하니까 A랑B랑
자리바꾸면 B곱A곱A역행렬이니까 B만 남으므로 성립
제바류님도 제가 처음풀때 한 실수를 했네요 ㅠㅠ
위의 첫번째 조건은 교환법칙이 성립한다는게 아니에요 반례가 있죠
그리고 이것을 전제로 풀어서 답이 맞다고 나온거니까
잘못 푼거에요
참고로 (AB)의 제곱 = A 의제곱곱하기B의 제곱 -->AB=BA 이다
의 반례는 A= (1 0/ 00 ) B=( 0 0 / 1 0)
이에요
(AB-BA)B=O --> AB-BA=O ? 가 참일지 거짓일지 따지는 것인데,
일반적으로 CD=O 이라고 해서 C=O는 아니니까 아마 위 명제도 거짓이 아닐까 일단 의심을 합니다.
그러면 (AB-BA)B=O 이고, AB-BA=O는 아닌 예를 찾기 위해, B를 최대한 O에 가까운 걸로 놓아봅니다. (그래야 좀 더 유리하니까..)
B = (0 1 // 0 0)으로 놓고, A = (a b // c d) 로 두시면
AB-BA = (-c a-d // 0 c) 이고
(AB-BA)B = (0 -c // 0 0) 인 것을 금방 계산할 수 있습니다.
따라서, c=0으로 두시면서 a-d =0이 아니게 하면 됩니다. 즉,
A = (a b // 0 d) , B = (0 1 // 0 0)형태면 반례입니다. (단, A의 역행렬이 존재한다는 조건 때문에, a,d 둘 다 0 이 안 되는 범위에서 고르면 되겠군요.)
대단하네요 이런생각을!!! ㅋㅋㅋ
제가 본것중 젤 논리적인 반례 찾기인듯 ㅋㅋ
감사합니다~~
ㅎㅎ 고마워요. 위에 막 실수 해놓고 그래서 죄송해요~