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Dream29 [371914] · 쪽지

2012-12-18 20:18:34
조회수 938

행렬 진위 판정 문제

게시글 주소: https://orbi.kr/0003378958

A B 는 이차정사각행렬 이며 (AB)의 제곱 = A 의제곱곱하기B의 제곱 이고 A의 역행렬이 존재할때 
 B*A 역행렬= A역행렬*B  이다

좀 풀어주세여 ~ 맞으면 맞고 틀리면 왜 틀린지 이유랑 풀이과정도 적어주세요

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Dream29 [371914]

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  • syzy · 418714 · 12/12/18 20:26 · MS 2012

    A약분해보면 (AB-BA)B=O ----> AB=BA ?? 를 진위판정하는 문제와 동치입니다.

    이는 거짓입니다. B=(0 1 // 0 0), A=(1 0 // 0 0) 생각해보시면 됩니다.

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  • Dream29 · 371914 · 12/12/18 20:37

    이미 님 말씀대로 A 의 역행렬은 존재해요

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  • Dream29 · 371914 · 12/12/18 20:53

    사실 학교에서 처음풀때 (AB)의 제곱 = A 의제곱곱하기B의 제곱 -->는 AB=BA
    라고 생각하고 풀었고 제 친구들도 그렇게 풀어서 답이 잘못된줄 알았는데,

    이게 syzy님이 동치라고 제시한걸로 이해하니까 정말 쉽게 이해되었네요
    고마워요 ~~

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  • 이미설전컴 · 261307 · 12/12/18 20:31 · MS 2008

    A =( 0 1 / 1 0 ) B= (1 0 / 1 0) 반례요 틀렸어용.

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  • Dream29 · 371914 · 12/12/18 20:38

    문제를 보자마자 반례가 떠오르는 경지까진 안가서 그런데,..
    반례 말고 다른 방법은 없나요?
    더군다나 시험에선 떨려서
    반례로 풀어야지 조차도 생각이 안나는데ㅠㅠ

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  • 이미설전컴 · 261307 · 12/12/18 20:33 · MS 2008

    syzy님 반례는 A가 역행렬이 없어서 안될것같아요.

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  • syzy · 418714 · 12/12/18 20:43 · MS 2012

    아 그러네요

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  • 제바류 ㅠ · 427727 · 12/12/18 20:39 · MS 2012
    회원에 의해 삭제된 댓글입니다.
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  • 제바류 ㅠ · 427727 · 12/12/18 20:47 · MS 2012

    ㅋㅋㅋㅋㅋ참인거같은데용 첫번째 조건 때문에 교환법칙이 성립한다고 할때 그 문제에 양쪽에 A를곱하면 A곱B곱A역행렬=B이고 교환법칙이 성립하니까 A랑B랑
    자리바꾸면 B곱A곱A역행렬이니까 B만 남으므로 성립

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  • Dream29 · 371914 · 12/12/18 20:55

    제바류님도 제가 처음풀때 한 실수를 했네요 ㅠㅠ

    위의 첫번째 조건은 교환법칙이 성립한다는게 아니에요 반례가 있죠
    그리고 이것을 전제로 풀어서 답이 맞다고 나온거니까
    잘못 푼거에요

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  • Dream29 · 371914 · 12/12/18 21:00

    참고로 (AB)의 제곱 = A 의제곱곱하기B의 제곱 -->AB=BA 이다
    의 반례는 A= (1 0/ 00 ) B=( 0 0 / 1 0)
    이에요

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  • syzy · 418714 · 12/12/18 20:49 · MS 2012

    (AB-BA)B=O --> AB-BA=O ? 가 참일지 거짓일지 따지는 것인데,

    일반적으로 CD=O 이라고 해서 C=O는 아니니까 아마 위 명제도 거짓이 아닐까 일단 의심을 합니다.

    그러면 (AB-BA)B=O 이고, AB-BA=O는 아닌 예를 찾기 위해, B를 최대한 O에 가까운 걸로 놓아봅니다. (그래야 좀 더 유리하니까..)

    B = (0 1 // 0 0)으로 놓고, A = (a b // c d) 로 두시면
    AB-BA = (-c a-d // 0 c) 이고
    (AB-BA)B = (0 -c // 0 0) 인 것을 금방 계산할 수 있습니다.
    따라서, c=0으로 두시면서 a-d =0이 아니게 하면 됩니다. 즉,
    A = (a b // 0 d) , B = (0 1 // 0 0)형태면 반례입니다. (단, A의 역행렬이 존재한다는 조건 때문에, a,d 둘 다 0 이 안 되는 범위에서 고르면 되겠군요.)

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  • Dream29 · 371914 · 12/12/18 21:08

    대단하네요 이런생각을!!! ㅋㅋㅋ
    제가 본것중 젤 논리적인 반례 찾기인듯 ㅋㅋ
    감사합니다~~

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  • syzy · 418714 · 12/12/18 21:15 · MS 2012

    ㅎㅎ 고마워요. 위에 막 실수 해놓고 그래서 죄송해요~

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