수학에서 "증명"이 무슨 의의가 있나요?-수리 잘하는 분들께 드리는 질문입니다.

Question

사람을 가리는게 아니라, 옳은 대답을 해 주실 수 있는 분이 수능수리에 있어서 어느정도 지배력이 있을 정도는
되야 될 것 같아서 저런 제목을 붙였습니다.

다시한번 더 도전하려는 사람인데요,
수리를 잘하는건 아니지만 아예 안했던 사람이 아닌지라(3등급) 수리가형 시험에 필요한 공식들을 알고는(외우고는) 있는 학생입니다.
기왕 새로하는거, 처음부터 한다는 심정으로 시간이 상대적으로 좀 널널한 이 시기에 작년에 그냥 쓰던 공식들을 증명하는 공부를 하고있는데

당최 이게 무슨의미가 있나부터 모르겠어서요.

학원다닐때, 대학도 서울대 수학과 나오고 학원가에 20년 넘게 있으신 내공이 굉장히 깊으신 수학선생님께서 언급하신적이 있는데

증명이라고 해봤자 대부분의 증명법은 학생들이 한시간두시간 낑낑대면서 혼자서 생각해내서 하는 것보다는

알려진 증명법을 너희가 "배우고" 그걸 스스로 "다시 써보면서" 이게 이렇게 증명이 된 것이구나 하고

고개를 주억거리는 데 의미가 있기는 하지만, 솔직히 너희들이 스스로 생각해낸 건 아니기때문에

증명법 자체가 너희들의 사고력 신장이 목표는 아니다.

하지만 그래도 그것이 가치가 있는 이유는, 증명을 해서 완전히 공식이 자기것이 됬을 때랑 그렇지않고 외워서 쓸 때랑은

문제를 대할때, 문제를 받아들일 때 그 풀이의 깊이가 완전히 달라진다.

이렇게 말씀하신 기억이 아직도 생생합니다.

머리로는 받아들였습니다. 받아들일것도 없이 너무도 자명한 사실이니까 그냥 수긍을 했지만

이게 무슨말인지 체감을 했냐고 물으면, 글쎄요, 느껴본 적이 없으니 알 수가 있나요.

그러다보니 증명이 중요하다 중요하다 해서 해보더라도, 이 증명을 어떤식으로 공부에 활용하는지

증명법을 통으로 암기해야하는지, 아니면 스스로 유도해내는 과정 자체를 음미하고 넘어가면 그만인건지

뭐 어떻게 해야되고 무얼 얻어가는지 저는 도저히 모르겠네요.

글이 너무 두서없어서 제 질문의 요지가 정확히 드러났는지 모르겠네요...

증명이 중요하고 증명을 해봐야하는건 알겠는데

왜, 어떻게 공부해야하고 그것이 제대로 학습되고있는지 제가 알 방법이 없다는게 너무 답답하네요.

답을 하실 수 있는 분들의 수학실력이면 이게 무슨 의미인지 알 수 있지 않을까 싶어 질문드립니다.

이제마지막이에요 · Accepted Answer

마름모 넓이 공식 아세요? 기억안나면 못구하나요? 구할수있죠. 왜요? 삼각형 / 사각형 넓이 공식의 의미/원리를 이해하고 있으니까요.

공식을 정확히 증명을 토대로 익히지 않으면,
응용력이 떨어져요. 내재화가 덜된다고 해야하나...??
그래서 증명을 알아야해요.

그리고, 문제풀 때 그 증명을 같이 떠올려야해요 (이건 단원마다 다릅니다만, 대부분은 그래요)
나중에 막판에는 이런 작업 필요하지 않지만, 초중반에는 이런 작업하시면 사고력이 많이 커져요. 내재화도 잘되구여

그러니까 개념공부하실땐, 증명을 외우시면서, 증명을 음미하시면서 내재화하셔야해요. 세개가 같이 이뤄져야합니다.
예를들면 역행렬공식에서 이걸 인지하는거죠 "이건 AX=E를 만들기 위한 과정에서 연립방정식을 전개하다보면 나오는 과정이다. 그 과정을 한번에 해결하기 위해 공식을 사용하는거다" 이렇게요.
수1단원은 크게 효과가 없습니다만, 수2,적통,기벡에선 차이가 좀 있죠.

그니까 ,증명자체를 외우는건 솔직히 큰 의미 없구요.
내.재.화가 되야해요. 이게 제일 궁극적인 목적이에요.

곱의미분같은건 이렇게요.
"모든 미분은 도함수/미분계수의 정의에서 출발한다. 곱의 미분도 마찬가지이며, 실제로 곱꼴을 극한을 취해 정리하면, 이런식으로 공식이 나온다" 이렇게요.

일단 확실한건, 공식이 내재화가 안되면,
첫째로 써야 할 상황과 안써야 할 상황 구분을 못할 수 있어요. 그러니까 어떤 것을 쓰면 안되는데 써버려서 오답이 되는거죠.(이럴 가능성은 많이 없어요)
두번째는 내재화가 되있어야 말그대로그냥 활용이 잘되요. 필요할 때 딱딱 꺼내쓸 수 있어요. 말로 표현이 어려운데요.. 사각형 넓이 공식 몸에 익힌 그 느낌있죠? 그런 느낌이에요. 사각형넓이공식 - 밑변x높이를 그냥 달달 외우셨는지,
아니면 직관적으로 이해하시면서 외우셨는지 잘 생각해보세요.

주렁주렁 무기를 들고 다니는 사람이 무섭나요? 웨폰마스터처럼 온갖 무기가 몸에 장착된 로봇이 무섭나요?

의대고고씽~ · Answer

윗분이 말씀 잘해놓으셨네요.증명을 연습하지 않으면 응용력이 떨어져요

sodong · Answer

그냥 증명을 외우는 것은 별 도움이 안 됩니다.그 증명 속에 담겨 있는 스토리를 이해하고(길게 줄줄 풀어써진 증명을 몇 개의 단계로 쪼개고 포인트를 잡아낼 수 있어야 해요.)나에게 익숙한 언어로 표현해낼 수 있어야 합니다.처음 분께서 예를 통해서 구체적으로 잘 설명해 놓으셔서 이렇게만 써도 괜찮을 거 같습니다.

수학에서 "증명"이 무슨 의의가 있나요?-수리 잘하는 분들께 드리는 질문입니다.

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